Polynomfunktionen
Ein Term der Form
mit \(a_{n}\in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), \(a_{n-1},\ldots ,a_{0}\in \mathbb{R}\) und \(n\in \mathbb{N}\) heißt Polynom \(n\)-ten Grades in \(x\). Die reellen Zahlen \(a_{n},\ldots ,a_{0}\) heißen Koeffizienten des Polynoms. Polynome von Grad \(1\) oder \(0\) bezeichnet man als lineare Terme. Polynome vom Grad \(2\) bezeichnet man als quadratische Terme.
Die Funktion
mit \(a_{n}\in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), \(a_{n-1},\ldots ,a_{0}\in\mathbb{R}\), \(n\in \mathbb{N}\) und dem Definitionsbereich \(D_{f}=\mathbb{R}\) heißt ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades oder Polynomfunktion von Grad \(n\).
Ist \(x_{0}\) eine Nullstelle einer Polynomfunktion \(f\), so geht die Polynomdivision \(f\left( x\right) :\left( x-x_{0}\right)\) ohne Rest auf. Das Ergebnispolynom \(g\left( x\right)\) hat den Grad \(n-1\). Es gilt weiter:
Sind \(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{q}\) mit \(q\in \mathbb{N}\) nicht unbedingt voneinander verschiedene, aber alle reelle Nullstellen der Polynomfunktion \(f\), so ist eine Faktorisierung des Funktionsterms \(f\left( x\right)\) möglich. Es gilt:
\(r(x)\) ist ein Restpolynom, das keine weitere Nullstellen von \(f\) besitzt. Sehr häufig ist \(r(x)=1\) und wird nicht weiter berücksichtigt. Eine Polynomfunktion \(f\) mit Grad \(n\) hat höchstens \(n\) verschiedene reelle Nullstellen.
Bei der Berechnung der Nullstellen einer Polynomfunktion von Grad \(n\), werden Gleichungen \(n\)-ten Grades mit Hilfe der Polynomdivision ohne Rest oder mit Hilfe der Substitution gelöst.
Eine Polynomfunktion \(f\) mit geradem Grad muss nicht unbedingt Nullstellen haben. Der Graph \(G_{f}\) kann vollständig oberhalb oder vollständig unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen. Eine Polynomfunktion \(f\) mit ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle, falls sie keine abschnittsweise definierte Funktion ist. Lässt sich nun eine Polynomfunktion \(f\) mit Grad \(n\) wie folgt schreiben:
mit \(k\in \mathbb{N}\) und gilt weiter \(r(x_{0})\neq 0\), so heißt \(x_{0}\) eine \(k\)-fache Nullstelle von \(f\). Je nach Wert von \(k\) verhält sich der Graph \(G_{f}\) an der Nullstelle \(x_{0}\) unterschiedlich.
Nullstellen einer Funktion
Falls \(k=1\), so wechselt der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen und \(G_{f}\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(P(x_{0};0)\).
Falls \(k\) gerade ist, so wechselt der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen nicht und \(G_{f}\) berührt die \(x\)-Achse im Punkt \(P(x_{0};0)\).
Falls \(k>1\) und ungerade, so wechselt der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen und \(G_{f}\) durchdringt die \(x\)-Achse im Punkt \(P(x_{0};0)\).
Sind \(f\) und \(g\) zwei Polynomfunktionen und ist \(S(x_{0};y_{0})\) ein gemeinsamer Punkt der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) dieser beiden Funktionen, so gilt: \(S\in G_{f}\wedge S\in G_{g}\). Die \(x\)-Koordinaten (Abszissen) der gemeinsamen Punkte von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) sind die Lösungen der Gleichung \(f(x)=g(x)\), oder \(f(x)-g(x)=0\). Die \(y\)-Koordinaten (Ordinaten) der gemeinsamen Punkte von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) erhält man, indem man die Lösungen der obigen Gleichung in den Funktionsterm \(f(x)\) oder \(g(x)\) einsetzt.
Sei nun \(x_{0}\) genau eine \(k\)-fache Lösung der Gleichung \(f(x)=g(x)\).
Falls \(k=1\), so schneiden sich \(G_{f}\) und \(G_{g}\) im Punkt \(S(x_{0};y_{0})\).
Falls \(k\) gerade, berühren sich \(G_{f}\) und \(G_{g}\) im Punkt \(S(x_{0};y_{0})\).
Falls \(k>1\) und ungerade, durchdringen sich \(G_{f}\) und \(G_{g}\) im Punkt \(S(x_{0};y_{0})\).
Schnitte zweier Funktionsgraphen
Der Graph \(G_{f}\) einer reellen Funktion \(f:x\longmapsto f(x)\), \(x\in D_{f}\) ist genau dann symmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn für alle \(x\in D_{f}\) gilt: \(f(-x)=f(x)\). In diesem Fall ist \(D_{f}\) symmetrisch zu Null. Bei ganzrationalen Funktionen ist dies der Fall, wenn \(D_{f}=\mathbb{R}\) ist und die Hochzahlen der Variablen \(x\) nur gerade sind und der Funktionsterm \(f(x)\) eventuell einen konstanten Summanden enthält.
Der Graph \(G_{f}\) einer reellen Funktion \(f:x\longmapsto f(x)\), \(x\in D_{f}\) ist genau dann symmetrisch zum Ursprung, wenn für alle \(x\in D_{f} ` gilt: :math:`f(-x)=-f(x)\). In diesem Fall ist \(D_{f}\) symmetrisch zu Null. Bei ganzrationalen Funktionen ist dies der Fall, wenn \(D_{f}= \mathbb{R}\) ist und die Hochzahlen der Variablen \(x\) nur ungerade sind und der konstante Summand gleich Null ist.