Quadratische Funktionen

• Aufgaben

Die Funktion

\[f:x\longmapsto ax^{2}+bx+c\]

mit \(a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) und \(b,c\in \mathbb{R}\) und dem Definitionsbereich \(D_{f}=\mathbb{R}\) heißt quadratische Funktion. Der Graph \(G_{f}\) der quadratischen Funktion ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S\left( x_{S};y_{S}\right)\). Die Parabel \(G_{f}\) heißt Normalparabel, falls \(a\in \{-1;1\}\).

Ist \(a>0\), so ist die Parabel \(G_{f}\) nach oben geöffnet. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt \(S\) der absolut tiefste Punkt von \(G_{f}\). Außerdem ist die Parabel \(G_{f}\) in \(\left] -\infty ;x_{S}\right]\) echt monoton fallend und in \(\left[ x_{S};\infty \right[\) echt monoton steigend.

Ist \(a<0\), so ist die Parabel \(G_{f}\) nach unten geöffnet. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt \(S\) der absolut höchste Punkt von \(G_{f}\). Außerdem ist die Parabel \(G_{f}\) in \(\left] -\infty ;x_{S}\right]\) echt monoton steigend und in \(\left[ x_{S};\infty \right[\) echt monoton fallend.

Drei Parabeln

Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind die reellen Lösungen der Gleichung

\[ax^{2}+bx+c=0\text{ .}\]

Jede quadratische Gleichung besitzt eine Diskriminante

\[D=b^{2}-4ac\text{ .}\]

Für \(D=b^{2}-4ac>0\) hat \(f\) hat zwei verschiedene Nullstellen:

\[x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\text{ und }x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\text{ .}\]

Der Funktionsterm \(f(x)\) lässt sich in diesem Fall in zwei unterschiedliche Linearfaktoren zerlegen, nämlich

\[f(x)=a\left( x-x_{1}\right) \left( x-x_{2}\right)\text{ .}\]

Für \(a>0\) liegt der Scheitelpunkt von \(G_{f}\) unterhalb der \(x\)-Achse und für \(a<0\) liegt der Scheitelpunkt von \(G_{f}\) oberhalb der \(x\)-Achse.

Für \(D=b^{2}-4ac=0\) hat \(f\) hat eine doppelte Nullstelle:

\[x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\text{ .}\]

Der Funktionsterm \(f(x)\) lässt sich in diesem Fall in zwei gleiche Linearfaktoren zerlegen, nämlich

\[f(x)=a\left( x-x_{1,2}\right)^{2}\text{ .}\]

Der Scheitelpunkt der Parabel \(G_{f}\) liegt für alle \(a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) auf der \(x\)-Achse.

Für \(b^{2}-4a<0\) hat \(f\) hat keine Nullstellen. In diesem Fall liegt die Parabel \(G_{f}\) für \(a>0\) vollständig oberhalb oder für \(a<0\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Eine Linearfaktorenzerlegung des Funktionsterms \(f(x)\) ist in \(\mathbb{R}\) nicht möglich.

Die Koordinaten des Scheitelpunktes \(S(x_{S};y_{S})\) der Parabel \(G_{f}\) werden mit \(x_{S}=-\frac{b}{2a}\) und \(y_{S}=f(x_{S})\) berechnet und es gilt:

\[f(x)=ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{S}\right)^{2}+y_{S}\text{ .}\]

Der Term \(f(x)=a\left(x-x_{S}\right)^{2}+y_{S}\) heißt Scheitelform der quadratischen Funktion.