Der Begriff Reelle Funktion

Aufgaben

Betrachtet wird eine beliebige Teilmenge \(D_{f}\) der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\), also \(D_{f}\subseteq\mathbb{R}\). Wird nun jedem \(x\in D_{f}\) durch eine bestimmte Zuordnungsvorschrift genau eine reelle Zahl zugeordnet, so ist diese Zuordnung eindeutig. Diese eindeutige Zuordnung heißt Funktion. Funktionen werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet, z. B. \(f\), \(g\) oder \(h\). Die Menge \(D_{f}\) heißt Definitionsmenge der Funktion \(f\).

Für die Zuordnungsvorschrift einer Funktion \(f\) gibt es unterschiedliche Schreibweisen:

\[f:x\longmapsto f(x) \text{ oder } f:y=f(x) \text{ .}\]

Dabei sind \(y=f(x)\) die Funktionsgleichung, \(f(x)\) der Funktionsterm, \(x\) die unabhängige Variable und \(y\) die abhängige Variable.

Sei nun \(x_{0}\) ein bestimmtes Element, also ein fester reeller Wert der Definitionsmenge \(D_{f}\) . Mit der Funktion \(f\) wird diesem festen Wert \(x_{0}\) eindeutig eine reelle Zahl \(f(x_{0})\) zugeordnet. Diese Zahl \(f(x_{0})\) ist der Funktionswert von \(f\) an der Stelle \(x_{0}\) . Die Menge \(W_{f}\) , die alle Funktionswerte \(f(x)\) enthält, heißt Wertemenge der Funktion \(f\).

Jede Funktion kann in einem Koordinatensystem graphisch dargestellt werden. Dabei entspricht dem Zahlenpaar \(\left(x;y=f(x)\right)\) eindeutig ein Punkt \(P(x;y)\) der Zeichenebene, sodass eine Punktmenge entsteht. Diese in einem Koordinatensystem eingezeichnete Punktmenge nennt man den Graph der Funktion \(f\). Der Graph der Funktion \(f\) wird in einem Koordinatensystem mit \(G_{f}\) bezeichnet. Graphen werden stets von links nach rechts gelesen. Die \(x\)-Koordinate eines beliebigen Punktes P von \(G_{f}\) heißt Abszisse, die \(y\)-Koordinate von P heißt Ordinate. Zur Darstellung von Funktionsgraphen gibt es kartesische oder rechtwinklige Koordinatensysteme.

../../_images/begriff_reelle_funktion_1.png — Kurve mit der Form einer Schleife

Ist die obige Kurve der Graph einer Funktion?

Die Kurve wäre der Graph einer reellen Funktion, wenn die Zuordnung eindeutig wäre. Der Stelle \(x=1\) sind zwei \(y\)-Werte zugeordnet. Das gilt für alle \(x\)-Werte aus dem Intervall \(x\in[0;2.2]\). Somit ist die dargestellte Schleife nicht der Graph einer rellen Funktion.

../../_images/begriff_reelle_funktion_2.png — Graph einer reellen Funktion

Jeder Stelle \(x\) der Abszisse (andere Bezeichnung für \(x\)-Achse) ist eindeutig ein \(y\)-Wert zugeordnet. Somit ist die dargestellte Kurve der Graph einer reellen Funktion.