Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben sind die quadratischen Funktionen

\[ \begin{align}\begin{aligned}f(x)=-\frac{7}{4}x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{11}{2}\text{ und}\\g(x)=\frac{5}{8}x^{2}-2x-\frac{13}{8}\text{ mit }x\in \mathbb{R}\text{ .}\end{aligned}\end{align} \]

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) sind die Parabeln \(G_{f}\) und \(G_{g}\).

  1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen \(f\) und \(g\) und die Koordinaten der Scheitelpunkte von \(G_{f}\) und \(G_{g}\text{.}\)

  2. Die Parabeln \(G_{f}\) und \(G_{g}\) haben die Punkte \(A\) und \(B\) gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte \(A\) und \(B\).

  3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge \(L\) der Ungleichung \(f(x)>g(x)\). Formulieren Sie in Worten die geometrische Bedeutung von \(L\) für \(G_{f}\) und \(G_{g}\).

  4. Die Punkte \(A\) und \(B\) legen die Gerade \(G_{k}\) und die Scheitelpunkte \(S_{f} ` und :math:`S_{g}\) legen die Gerade \(G_{l}\) fest. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden \(G_{k}\) und \(G_{l}\).

  5. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von \(G_{k}\) und \(G_{l}\).

  6. Zeichnen Sie \(G_{f}\), \(G_{g}\), \(G_{k}\) und \(G_{l}\) in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem.

Aufgabe 2

Gegeben ist die quadratische Funktion

\[f(x)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}\text{ ; }x\in\mathbb{R}\text{ .}\]

Der Graph der Funktionen \(f\) ist die Parabel \(G_{f}\).

  1. Bringen Sie \(f(x)\) in die Scheitelform.

  2. Betrachtet werden die Funktionen \(g_{m}(x)=mx-\frac{5}{2}m+2x-10\) ; \(m,x\in \mathbb{R}\). Zeigen Sie, dass alle Geraden \(G_{g_{m}}\) genau einen Punkt \(T\) gemeinsam haben.

  3. Berechnen Sie diejenigen Werte von \(m\), für die \(G_{g_{m}}\) die Parabel \(G_{f}\) berührt.

  4. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.

  5. Skizzieren Sie \(G_{f}\) mit den beiden Berührgeraden.

Aufgabe 3

Durch die Punkte \(A(0;-5)\), \(B(3;2.5)\) und \(C(1;-4.5)\) verläuft der Graph \(G_{p}\) der quadratischen Funktion \(p\).

  1. Bestimmen Sie den zugehörigen Term \(p(x)\). [Ergebnis: \(p(x)=x^{2}-0.5x-5\) ]

  2. Berechnen Sie die Nullstellen von \(p\) und zerlegen Sie \(p(x)\) so weit wie möglich in Linearfaktoren.

  3. Ermitteln Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes \(S\) von \(G_{p}\) und zeichnen Sie \(G_{p}\).

  4. Gegeben sind die linearen Funktionen \(g_{t}(x)=3.5x+t\) mit \(t,x\in \mathbb{R}\). Beschreiben wie die Geraden \(G_{t}\) im kartesischen Koordinatensystem liegen.

  5. Berechnen Sie den Wert von \(t\) so, dass die zugehörige Gerade \(G_{t}\) die Parabel \(G_{p}\) im Punkt \(D\) berührt. Berechnen Sie zusätzlich die Koordinaten des Punktes \(D\) und zeichnen Sie \(G_{t}\) mit ein.

Aufgabe 4

Gegeben ist die quadratische Funktion \(q(x)=ax^{2}+bx-\frac{1}{12}\) mit \(a,b,x\in \mathbb{R}\). Die Punkte \(A(-1;\frac{5}{3})\) und \(B(5;-\frac{4}{3})\) liegen auf der Parabel \(G_{q}\).

  1. Bestimmen Sie den Term \(q(x)\). [Ergebnis: \(q(x)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{1}{12}\) ]

  2. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(G_{t}\) an \(G_{q}\) im Punkt \(K(7;q(7))\).

  3. Zeichnen Sie \(G_{q}\) und \(G_{t}\).

Aufgabe 5

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender quadratischer Ungleichungen über \(\mathbb{R}\).

  1. \(2x^{2}-x-1>0\)

  2. \(-3x^{2}-5x+2\geq 0\)

  3. \(3x^{2}-18x+27>0\)

  4. \(-4x^{2}-16x-16\geq0\)

  5. \(\frac{1}{2}x^{2}+2x+1\leq0\)

  6. \(x^{2}-3x+11<0\)

  7. \(2x^{2}+2x+5>0\)

  8. \(\frac{1}{3}(x-2)^{2}-27\geq0\)

  9. \(-x^{2}+49>0\)

  10. \(-\frac{1}{3}x^{2}+4x>0\)

Aufgabe 6

Ermitteln Sie die Lösungsmenge folgender quadratischer Ungleichungen über \(\mathbb{R}\).

  1. \(\frac{1}{2}x^{2}+3x-a>0\) ; \(a\in\mathbb{R}\)

  2. \(-\frac{1}{2}x^{2}+ax-3>0\) ; \(a\in\mathbb{R}\)

  3. \(ax^{2}+3x-\frac{1}{2}>0\) ; \(a\in\mathbb{R}\)