Die Menge der reellen Zahlen

Aufgaben

Das Zahlensystem besteht aus mehreren Zahlenmengen:

\(\mathbb{N}=\left\{1,2,3,\ldots \right\}\) ist die Menge der natürlichen Zahlen.

Jede natürliche Zahl entspricht der Anzahl der Elemente einer nicht leeren Menge. Nimmt man zu \(\mathbb{N}\) die Null dazu, schreibt man \(\mathbb{N}_{0}=\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} =\left\{0,1,2,3,\ldots \right\}\).
\(\mathbb{Z}=\left\{ \ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \right\}\) ist die Menge der ganzen Zahlen.
\(\mathbb{Q}=\left\{ \frac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb{Z} \wedge b \neq 0 \right\}\) ist die Menge der rationalen Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) ist die Menge aller Brüche und sie enthält alle ganze Zahlen, alle endliche Dezimalbrüche und alle periodische Dezimalbrüche. Periodische Dezimalbrüche haben unendlich viele Stellen nach dem Komma, aber gewisse Ziffernfolgen wiederholen sich immer wieder.
Die Gleichung \(x^{2}=a\) ist in der Grundmenge \(\mathbb{Q}\) nur dann lösbar, wenn \(a\) eine Quadratzahl ist. Ansonsten ist \(x^{2}=a\) in \(\mathbb{Q}\) nicht lösbar. Diese Unzulänglichkeit wird mit der Einführung der Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I}\) beseitigt. Die Menge der nichtperiodischen unendlichen Dezimalbrüche bilden die Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I}\).

\(\mathbb{I}=\left\{ \ldots ,-\sqrt{3},\ldots,\sqrt{2},\ldots,\pi,\ldots \right\}\).
Die Menge \(\mathbb{I}\) bildet mit der Menge \(\mathbb{Q}\) die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\), also \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\).

Beispiele:

\(\frac{5}{3}\in\mathbb{R}\) und man schreibt dazu: \(\frac{5}{3}=1.\overline{6}\) oder \(\frac{5}{3}\approx1.67\) oder \(\frac{5}{3}=1.66\ldots\)
\(\sqrt{8}\in\mathbb{R}\) und man schreibt dazu: \(\sqrt{8}\approx2.83\) oder \(\sqrt{8}=2.82\ldots\)

Für \(a,b,c \in \mathbb{R}\) gelten folgende Axiome:

Assoziativgesetz:
\(\left( a+b\right) +c=a+\left( b+c\right)\) oder \(\left( a\cdot b\right) \cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)\)
Kommutativgesetz:
\(a+b=b+a\) oder \(a\cdot b=b\cdot a\)
Distributivgesetz:
\(a\cdot \left( b+c\right) =a \cdot b+a\cdot c\)
Die Division durch Null ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert!
\(\frac{1}{a}\cdot a=1\), falls \(a\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)
Ordnungsrelationen:
\(a>b \vee a=b \vee a<b\)
\(a<b \wedge b<c \Rightarrow a<c\)
\(a<b \Rightarrow a+c<b+c\)
\(a<b \wedge c>0 \Rightarrow ac<bc\)

Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen:

Reelle Zahlen werden werden mit Hilfe einer Zahlengeraden anschaulich dargestellt.

../../_images/zahlengerade.png — Zahlengerade

Jeder reellen Zahl \(a\in \mathbb{R}\) entspricht genau ein Punkt der Zahlengerade und umgekehrt, jedem Punkt der Zahlengerade entspricht genau eine reelle Zahl \(a\in \mathbb{R}\). Die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade vollständig aus.