Lineare Funktionen

• Aufgaben

Die Funktion

\[f:x\longmapsto mx+t\]

mit \(m,t\in \mathbb{R}\) und dem Definitionsbereich \(D_{f}=\mathbb{R}\) heißt lineare Funktion. Der Graph \(G_{f}\) der linearen Funktion ist eine Gerade. Im Koordinatensystem wird die Gerade \(G_{f}\) auch mit \(f\) bezeichnet.

Graph einer linearen Funktion

Die Gerade \(G_{f}\) verläuft durch die Punkte \(P_{1}\left( x_{1};y_{1}\right)\) und \(P_{2}\left(x_{2};y_{2}\right)\) mit \(x_{1}\neq x_{2}\). Der Winkel \(\alpha\) zwischen der \(x\)-Achse und der Geraden \(G_{f}\) heißt Neigungswinkel der Geraden \(G_{f}\). Der Neigungswinkel \(\alpha\) wird von der \(x\)-Achse ausgehend entgegen dem Uhrzeigersinn gerechnet und es gilt:

\[\tan \alpha = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}= \dfrac{\left( mx_{2}+t\right) -\left( mx_{1}+t\right) }{x_{2}-x_{1}}=\dfrac{m\left( x_{2}-x_{1}\right) }{x_{2}-x_{1}}=m\]

Der Faktor \(m\) wird Steigungsfaktor oder kurz Steigung der Geraden \(G_{f}\) genannt. Für \(m>0\) ist die Gerade \(G_{f}\) streng monoton steigend, für \(m<0\) ist die Gerade \(G_{f}\) streng monoton fallend und für \(m=0\) verläuft die Gerade \(G_{f}\) parallel zur \(x\)-Achse.

Setzt man in \(f(x)=mx+t\) für \(x\) den Wert Null ein, erhält man: \(f(0)=t\). Der Schnittpunkt der Geraden \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse hat die Koordinaten \(T(0;t)\). Man nennt die Zahl \(t\) den \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden \(G_{f}\). Ist \(t=0\), so verläuft die Gerade \(G_{f}\) durch den Ursprung. In diesem Fall heißt die Gerade \(G_{f}\) Ursprungsgerade.

Eine Sonderstellung nehmen die Geraden ein, die zur \(y\)-Achse parallel sind. Die zugehörige Gleichung lautet \(x=k\) mit \(k\in \mathbb{R}\). Dies ist allerdings keine Funktionsgleichung und die Gerade schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(P(k;0)\).

Allgemeines:

Eine Nullstelle \(x_{0}\) einer reellen Funktion \(f\) ist, falls sie überhaupt existiert, die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P(x_{0};0)\), die der Graph \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse gemeinsam hat.

Falls die Steigung einer Geraden verschieden von Null ist, so hat eine Gerade \(G_{f}\) genau eine Nullstelle, nämlich \(x_{0}=- \frac{t}{m}\). Es gilt:

\[f(x)=0\text{ ; }mx+t=0\text{ ; }x=-\frac{t}{m}\text{ mit }m\neq 0\]

Falls \(m=0\) ist, verläuft die Gerade \(G_{f}\) parallel zur \(x\)-Achse. Die \(x\)-Achse selber hat die Funktionsgleichung: \(y=0\).

Der Term \(f(x)=m(x-x_{1})+y_{1}\) heißt Punkt-Steigungsform der Geraden und ist eine alternative Darstellung des Terms \(f(x)=mx+t\). Aus der Punkt-Steigungsform der linearen Funktion können zum einen die Steigung \(m\) der Geraden \(G_{f}\) und zum anderen die Koordinaten eines Punktes, der auf \(G_{f}\) liegt, hier der Punkt \(P_{1}(x_{1};y_{1})\), angegeben werden.