Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion: \(f_{1}(x)=-\frac{1}{3}(x+2)(x-\frac{3}{2})(x-3)\) mit \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Geben Sie die Nullstellen von \(f_{1}\) an.

  2. Multiplizieren Sie den Funktionsterm \(f_{1}(x)\) aus.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion: \(f_{2}(x)=\frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{3}x+4\) mit \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Zeigen Sie, dass \(x_{1}=-3\) eine Nullstelle von \(f_{2}\) ist.

  2. Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen von \(f_{2}\).

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion: \(f_{3}(x)=\frac{1}{8}(x^{4}-\frac{89}{4}x^{2}+100)\) mit \(x\in\mathbb{R}\). Berechnen Sie die Nullstellen von \(f_{3}\) und zerlegen Sie \(f_{3}(x)\) so weit wie möglich in Linearfaktoren.

Aufgabe 4

Zerlegen Sie folgende Funktionsterme so weit wie möglich in Linearfaktoren.

  1. \(f_{1}(x)=x^{3}-8x^{2}+5x+14\)

  2. \(f_{2}(x)=x^{3}+x^{2}-26x+24\)

  3. \(f_{3}(x)=\frac{2}{5}x^{3}-\frac{42}{5}x-8\)

  4. \(f_{4}(x)=-\frac{5}{6}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+20x-\frac{70}{3}\)

  5. \(f_{5}(x)=\frac{2}{3}x^{4}-\frac{20}{3}x^{3}+2x^{2}+36x\)

  6. \(f_{6}(x)=-\frac{1}{3}x^{4}+\frac{34}{3}x^{2}-75\)

  7. \(f_{7}(x)=\frac{7}{5}x^{4}-\frac{126}{5}x^{2}+\frac{567}{5}\)

  8. \(f_{8}(x)=36-\frac{4}{9}x^{4}\)

  9. \(f_{9}(x)=\frac{4}{7}x^{5}+\frac{16}{21}x^{4}-\frac{4}{21}x^{3}-\frac{8}{21}x^{2}\)

  10. \(f_{10}(x)=-\frac{5}{8}x^{4}-\frac{5}{2}x^{2}-\frac{15}{8}\)

  11. \(f_{11}(x)=\frac{1}{7}x^{4}-\frac{5}{14}x^{3}-\frac{15}{14}x^{2}-\frac{25}{14}x-\frac{125}{14}\)

  12. \(f_{12}(x)=-\frac{2}{9}x^{4}+\frac{11}{9}x^{3}+\frac{2}{9}x^{2}+\frac{22}{9}x+\frac{4}{3}\)

  13. \(f_{13}(x)=\frac{2}{11}x^{4}-\frac{12}{11}x^{3}+\frac{20}{11}x^{2}-\frac{24}{11}x+\frac{32}{11}\)

  14. \(f_{14}(x)=\frac{3}{5}x^{3}+\frac{1}{5}x^{2}-\frac{1}{15}x-\frac{1}{45}\)

Aufgabe 5

Die folgenden Funktionen besitzen die angegebene Nullstelle. Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen in Abhängikeit von \(a\in\mathbb{R}\) und geben Sie die Vielfachheit der Nullstelle an.

  1. \(f_{a}(x)=2x^{3}+\left( a-8\right) x+2a\) ; \(x_{1}=-2\)

  2. \(f_{a}(x)=-3x^{3}+\left( a+9\right) x^{2}-\left( 3a+3\right) x+9\) ; \(x_{1}=3\)

  3. \(f_{a}(x)=ax^{3}-\left( a+4\right) x^{2}+5x-1\) ; \(a\neq 0\) ; \(x_{1}=1\)

  4. \(f_{a}(x)=x^{3}-\left( a+4\right) x^{2}+\left( 4a+1\right) x-4\) ; \(x_{1}=4\)

  5. \(f_{a}(x)=3x^{3}+9x^{2}+\left( a+6\right) x+a\) ; \(x_{1}=-1\)

  6. \(f_{a}(x)=-2x^{3}+\left( 2a+1\right) x^{2}-\left( a-1\right) x-a\) ; \(x_{1}=a\)

Aufgabe 6

Untersuchen Sie folgende Funktionsgraphen auf Symmetrie zum Ursprung oder Symmetrie zur \(y\)-Achse.

  1. \(f(x)=-3x^{4}+2x^{2}-7\) ; \(x\in\mathbb{R}\)

  2. \(g(x)=-2x^{5}+x\) ; \(x\in\mathbb{R}\)

  3. \(h(x)=-5x^{4}+2x-2\) ; \(x\in\mathbb{R}\)

Aufgabe 7

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=\frac{5}{9}x^{3}-\frac{10}{9}x^{2}-\frac{11}{6}x+\frac{3}{4}\) mit \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(Q(-\frac{3}{5};f(-\frac{3}{5}))\).

  2. Gegeben ist weiter die Funktion: \(g(x)=\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\) mit \(x\in\mathbb{R}\). Berechnen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von \(G_{f}\) und \(G_{g}\).

  3. Skizzieren Sie \(G_{f}\), \(G_{g}\) und \(G_{t}\) in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem.

Aufgabe 8

Gegeben ist die Funktion \(p(x)=\frac{56}{81}x^{2}-8x+\frac{208}{9}\) mit \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen von \(p\), den Scheitelpunkt von \(G_{p}\) und die Scheitelform von \(p(x)\).

  2. Gegeben ist weiter die Funktion \(k(x)=-\frac{8}{9}(x-\frac{7}{2})^{2}+q\) mit \(q,x\in\mathbb{R}\). Die Parabel \(G_{k}\) berührt den Graphen \(G_{p}\). Bestimmen Sie \(k(x)\).

  3. Ermitteln Sie die Koordinaten des Berührpunktes und die Gleichung der gemeinsamen Tangente.

  4. Skizzieren Sie \(G_{p}\), \(G_{k}\) und \(G_{t}\) in ein kartesisches Koordinatensystem.

Aufgabe 9

Gegeben sind die Funktionen \(h_{a}(x)=\frac{1}{2}x^{3}-ax^{2}+\frac{1}{2}a^{2}x\) mit \(a\in\mathbb{R}^{+}\) und \(x\in\mathbb{R}\).

  1. Zeigen Sie, dass jede Funktion \(h_{a}\) genau zwei verschiedene Nullstellen hat.

  2. Ermitteln Sie die Intervalle, in denen \(h_{a}(x)>0\) und \(h_{a}(x)<0\) ist.

  3. Berechnen Sie \(a\) so, dass der Graph von \(h_{a}\) durch den Punkt \(W(4;2)\) verläuft.

  4. Für \(a=3\) erhält man die Funktion \(h_{3}(x)\), die kurz mit \(h(x)\) bezeichnet wird. Es gilt: \(h(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+\frac{9}{2}x\) mit \(x\in\mathbb{R}\). Die Gerade \(G_{g}\) mit der Steigung \(-\frac{9}{8}\) verläuft durch \(P(3;0)\). Zeigen Sie, dass \(G_{g}\) Tangente an \(G_{h}\) ist und berechnen Sie die Koordinaten ihrer gemeinsamen Punkte.

  5. Die Parabel \(G_{p}\) berührt den Graphen \(G_{h}\) im Ursprung und schneidet diesen Graphen in seinem weiteren gemeinsamen Punkt mit der \(x\)-Achse. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(p(x)\).

  6. Skizzieren Sie \(G_{h}\), \(G_{g}\), \(G_{p}\) in ein kartesisches Koordinatensystem.

Aufgabe 10

Gegeben sind die Funktionen \(f_{a}(x)=\frac{1}{6}\left( x^{3}-4x^{2}+ax\right)\) mit \(a,x\in\mathbb{R}\)

  1. Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen und die Nullstellen von \(f_{a}\) in Abhängigkeit von \(a\).

  2. Bestimmen Sie \(a\) so, dass \(x=2\) Nullstelle von \(f_{a}\) ist.

  3. Zeigen Sie, dass der Graph von \(f_{4}\) in \(P(\frac{2}{3};\frac{16}{81})\) eine waagerechte Tangente besitzt.

  4. Berechnen Sie die Koordinaten des weiteren Schnittpunktes dieser Tangente mit dem Graphen der Funktion \(f_{4}\).

Aufgabe 11

Gegeben sind die reellen Funktionen \(f_{a}(x)=-\frac{1}{9}\left( x-3\right) ^{3}\left( x+a\right)^{2}\) und \(g(x)=-\frac{4}{3}x^{2}+3x+3\) mit \(a,x\in\mathbb{R}\).

  1. Geben Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Nullstellen der Funktion \(f_{a}\) und deren Vielfachheiten an.

  2. Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\), für den der Graph \(G_{f_{a}}\) durch den Punkt \(P(2;1)\) verläuft.

  3. Zeigen Sie, dass für den Funktionsterm \(f_{1}(x)\) gilt: \(f_{1}(x)=-\frac{1}{9}\left(x^{5}-7x^{4}+10x^{3}+18x^{2}-27x-27\right)\).

  4. Berechnen Sie \(f_{1}(-\frac{3}{2})\) und \(f_{1}(4)\) und skizzieren Sie die Graphen \(G_{f_{1}}\) und \(G_{g}\) für \(-\frac{3}{2}\leq x\leq 4\).

  5. Zeigen Sie: \(f_{1}(x)-g(x)=-\frac{1}{9}x^{2}\left(x^{3}-7x^{2}+10x+6\right)\).

  6. Berechnen Sie den Bereich aller \(x\)-Werte, für die \(G_{f_{1}}\) oberhalb \(G_{g}\) verläuft.

Aufgabe 12

Gegeben sind die reellen Funktionen \(f_{a}(x)=-\frac{1}{40}x^{3}\left( 4x^{2}-a^{2}\right)\) und \(g(x)=-\frac{1}{10}x^{5}+\frac{4}{15}x^{4}+\frac{5}{8}x^{3}-\frac{11}{5}x^{2}+\frac{18}{5}\) mit \(a,x\in \mathbb{R}\).

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f_{a}\) sowie deren Vielfachheiten in Abhängigkeit von \(a\).

  2. Berechnen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die \(G_{f_{a}}\) durch den Punkt \(P(1;0.525)\) verläuft.

  3. Es gilt: \(f_{5}(x)=f(x)=-\frac{1}{10}x^{5}+\frac{5}{8}x^{3}\). Untersuchen Sie \(G_{f}\) auf Symmetrie.

  4. Berechnen Sie den Bereich aller \(x\)-Werte, für die \(G_{f}\) oberhalb \(G_{g}\) verläuft.

  5. Berechnen Sie \(f(-2)\), \(g(-2)\) und skizzieren Sie einen möglichen Verlauf von \(G_{f}\) und \(G_{g}\).