Prüfung 2025

Analysis, Teil 1

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit dem Term \(f(x)=\dfrac{-x(x+2)}{(x+2)(x-2)^{2}}\) mit ihrer größtmöglichen Definitionsmenge \(D_{f}\subseteq\mathbb{R}\) . Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) , die jeweilige Art aller Definitionslücken von \(f\) , die Nullstelle von \(f\) sowie jeweils Art und Gleichung aller Asymptoten von \(G_{f}\) an. [6]

Aufgabe 2

Die untere Abbildung zeigt den Ausschnitt des Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion \(g\) mit \(D_{g}=\mathbb{R}\) . Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Die Funktion \(g\) besitzt genau zwei Nullstellen. Diese sind ganzzahlig. Der Graph \(G_{g}\) hat den absoluten Hochpunkt \(H(0;1)\) .

Aufgabe (a)

Entscheiden Sie, ob die Terme \(g^{\prime}(0)\) , \(g^{\prime\prime}(0)\) und \(\int_{-1}^{1}g(x)dx\) Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind. [3]

Aufgabe (b)

In Abhängigkeit des Funktionsterms \(g(x)\) der Funktion \(g\) werden die Terme \(h(x)=\dfrac{1}{g(x)}\) und \(j(x)=x^{2}\cdot e^{g(x)}\) definiert.

Die zugehörigen Funktionen \(h\) und \(j\) haben jeweils die größtmögliche Definitionsmenge \(D_{h}\subseteq\mathbb{R}\) und \(D_{j}\subseteq\mathbb{R}\) . Bestimmen Sie mithilfe des Graphen \(G_{g}\) diese zwei Definitionsmengen. [4]

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichungen \(\left(3x-\frac{1}{13}\right)\left(e^{x-4}-1\right)=0\) und \(\ln(x-4)=0\) über der Grundmenge der reellen Zahlen. [4]

Aufgabe 4

Die untenstehende Abbildung zeigt modellhaft den Querschnitt (rote Kontur) einer insgesamt vier Meter breiten Skateboardrampe. Die obere Begrenzungslinie des Querschnitts verläuft für \(x\leq x\leq1\) parallel zur \(x\)-Achse und für \(1\leq x\leq4\) entlang des Graphen der Funktion \(q\) in der Definitionsmenge \(D_{q}\) . Für den Term der Funktion \(q\) gilt: \(q(x)=\dfrac{2}{x^{2}}\) mit \(x\in[1;4]\) . Der zugehörige Graph wird in einem kartesischen Koordinatensystem mit \(G_{q}\) bezeichnet. Die Koordinaten \(x\) und \(y\) sind Längenangaben in der Einheit Meter. Berechnen Sie die Maßzahl der Querschnittsfläche der abgebildeten Skateboardrampe. Der Abbildung dürfen ganzzahlige Werte entnommen werden. [5]

Geometrie, Teil 1

Aufgabe 1

Die untere Abbildung zeigt modellhaft ein rechteckiges Solarmodul \(BADC\) in einem kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) . Das Solarmodul ist auf dem Flachdach eines Hauses aufgestellt. Das Flachdach liegt in der \(x_{1}x_{2}\)-Koordinatenebene. Gegeben sind die Endpunkte \(P(15;2;0)\) und \(Q(15;8;2.5)\) einer Strebe, die das Modul stützt. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter. Auf die Mitführung von Einheiten bei den Rechnungen kann verzichtet werden.

Aufgabe (a)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes \(D\) an und bestimmen Sie nachvollziehbar eine Gleichung der Ebene \(E\) , in der das Solarmodul liegt, in Parameterform. [3]

Aufgabe (b)

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Solarmoduls. [3]

Aufgabe (c)

Zeigen Sie, dass die Strebe \(\overline{PQ}\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht. [3]

Aufgabe 2

Im \(\mathbb{R}^{3}\) ist die vierseitige Pyramide \(ABCDS\) mit der rechteckigen Grundfläche \(ABCD\) gegeben (siehe untere Abbildung). Ferner sind die Vektoren \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) , \(\vec{v}=\overrightarrow{AD}\) und \(\vec{w}=\overrightarrow{AS}\) gegeben.

Aufgabe (a)

Für den Punkt \(P\) gilt: \(\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{w}\) . Benennen Sie die besondere Eigenschaft des Punktes P bezüglich des Dreiecks ABS . [1]

Aufgabe (b)

Der Punkt \(M\) ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche \(ABCD\) . Geben Sie den Vektor \(\overrightarrow{MS}\) als Linearkombination der Vektoren \(\vec{u}\) , \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) an. [2]

Analysis, Teil 2.1

Aufgabe 1

Die untere Skizze zeigt ein \(8\) Meter breites und \(10\) Meter langes Kinderbecken, welches an der Vorder- und Rückseite wasserdicht verschlossen ist (nicht in der Abbildung dargestellt).

Die untenstehende Abbildung zeigt in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft den Querschnitt des Kinderbeckens, dessen obere Begrenzungslinie durch den Graphen \(G_{h}\) der Funktion \(h\) mit dem Term \(h(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+6}\) und mit derDefinitionsmenge \(D_{h}=[-4;4]\) beschrieben wird. Die Koordinaten \(x\) und \(y\) sind Längenangaben mit der Einheit Meter. Bei Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe (a)

Zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_{h}\) symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft. [3]

Aufgabe (b)

Laut einer neuen Verordnung darf der Boden von Kinderbecken eine maximale Steigung von \(30~\%\) nicht überschreiten. Überprüfen Sie, ob die neue Verordnung eingehalten wird. [10]

[zur Kontrolle: \(h^{\prime}(x)=\dfrac{12x}{(x^{2}+6)^{2}}\) ; \(h^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-36x^{2}+72}{(x^{2}+6)^{3}}\) ]

Aufgabe (c)

Das bestimmte Integral \(\int\limits_{-2}^{2}(0.4-h(x))dx\) kann geometrisch als Maßzahl eines Flächenstückes interpretiert werden. Kennzeichnen Sie das Flächenstück in der Skizze und schätzen Sie den Wert der zugehörigen Flächenmaßzahl durch geometrische Betrachtung näherungsweise ab. Die maximale Wassertiefe im Kinderbecken soll \(0.40\) Meter betragen. Ermitteln Sie mithilfe Ihres Schätzwertes einen Näherungswert für das dafür benötigte Wasservolumen in Kubikmeter . [4]

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit dem Term \(f(x)=-4\cdot\ln(0.5x)\cdot(1.5\cdot\ln(0.5x)+1)\) mit ihrer Definitionsmenge \(D_{f}=]0;\infty[\) . Der Graph der Funktion \(f\) heißt \(G_{f}\) . Er besitzt eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x=0\) . Die erste Ableitungsfunktion \(f^{\prime}\) hat den Term \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-12\cdot\ln(0.5x)-4}{x}\) mit der Definitionsmenge \(D_{f}=D_{f^{\prime}}\) .

Aufgabe (a)

Berechnen Sie die exakten Nullstellen von \(f\) und ermitteln Sie das Verhalten von \(f(x)\) an den Rändern von \(D_{f}\) . [6]

Aufgabe (b)

Die untere Abbildung zeigt Ausschnitte der Graphen \(G_{f^{\prime}}\) und \(G_{f^{\prime\prime}}\) . Die einzige Nullstelle von \(f^{\prime}\) ist \(x=2\cdot e^{-\frac{1}{3}}\) und die einzige Nullstelle von \(f^{\prime\prime}\) ist \(x=2\cdot e^{\frac{2}{3}}\) . Geben Sie mithilfe der Abbildung das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) von an. Begründen Sie, dass der Extrempunkt von \(G_{f}\) ein absoluter Hochpunkt ist. Bestimmen Sie jeweils die Koordinaten des Hochpunktes \(H\) und des Wendepunktes \(W\) von \(G_{f}\) . [6]

Aufgabe (c)

Berechnen Sie das bestimmte Integral \(\int\limits_{4}^{6}f^{\prime\prime}(x)dx\) . Das bestimmte Integral kann geometrisch als Maßzahl eines Flächenstücks im obigen Koordinatensystem interpretiert werden. Kennzeichnen Sie diese Fläche mit einer Kontur. [4]

Aufgabe (d)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente \(t_{P}\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2;f(2))\) . [3]

Aufgabe (e)

Zeichnen Sie \(G_{f}\) und \(t_{P}\) im Bereich \(0.5\leq x\leq4.5\) in ein kartesisches Koordinatensystem. Kennzeichnen Sie den Wendepunkt \(W\) und geben Sie eine Gleichung der Tangente \(t_{H}\) im absoluten Hochpunkt \(H\) von \(G_{f}\) an. [7]

Analysis, Teil 2.2

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit dem Term \(f(x)=\dfrac{-x^{2}-5}{x^{3}-5x}\) mit ihrer Definitionsmenge \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-\sqrt{5};0;\sqrt{5}\}\) . Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Aufgabe (a)

Untersuchen Sie, ob \(G_{f}\) eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt. [3]

Aufgabe (b)

Ermitteln Sie die exakten Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion \(f^{\prime}\) mit der Definitionsmenge \(D_{f^{\prime}}=D_{f}\) . [6]

[zur Kontrolle: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{x^{4}+20x^{2}-25}{(x^{3}-5x)^{2}}\) ]

Aufgabe (c)

Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f^{\prime}}\) der Funktion \(f\) . Alle Nullstellen und Definitionslücken von \(f^{\prime}\) sind in der Abbildung ersichtlich. Geben Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie jeweils die Art aller relativen Extremstellen von \(f\) an. [4]

Hinweis: Anstelle der exakten Zahlenwerte können bei der Angabe der Intervalle die in der Abbildung ersichtlichen Bezeichnungen \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(x_{3}\) und \(x_{4}\) verwendet werden.

Aufgabe (d)

Zeigen Sie, dass die Funktion \(f\) auch durch den Term \(f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2x}{x^{2}-5}\) dargestellt werden kann und berechnen Sie das bestimmte Integral \(\int\limits_{1}^{2}f(x)dx\) exakt. [7]

Aufgabe 2

Bei der Milchsäuregärung wandeln Bakterien die in Milch befindliche Laktose in Milchsäure um. Die Funktion \(M\) mit dem Term \(M(t)=\dfrac{a}{1+9e^{b\cdot t}}\) mit \(t\geq0\) gibt die Milchsäurekonzentration \(M(t)\) in Abhängigkeit der Zeit t an. Dabei wird \(M(t)\) in Gramm pro Liter gemessen und \(t\) gibt die Zeit in Stunden an, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist. Bei Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe (a)

In einem Laborversuch wird die Milchsäurekonzentration von einem Liter Milch stündlich gemessen. Zu Beobachtungsbeginn t=0 beträgt die Milchsäurekonzentration \(0.8\) Gramm pro Liter und drei Stunden nach Beobachtungsbeginn \(5.0\) Gramm pro Liter. Berechnen Sie die Werte der Parameter \(a\) und \(b\) so, dass die Modellfunktion mit diesen beiden Messwerten im Einklang steht. [3]

Aufgabe (b)

Im Folgenden gilt \(a=8\) und \(b=-0.9\) . Somit ergibt sich \(M(t)=\dfrac{8}{1+9e^{-0.9t}}\) mit \(t\geq0\) . Der Graph von \(M\) wird mit \(G_{M}\) bezeichnet.

Zeigen Sie, dass die Milchsäurekonzentration nach diesem Modell stets zunimmt. [4]

[zur Kontrolle: \(\dot{M}(t)=\dfrac{64.8\cdot e^{-0.9t}}{(1+9e^{-0.9t})^{2}}\) ]

Aufgabe (c)

Für die zweite Ableitungsfunktion \(\ddot{M}\) gilt \(\ddot{M}(t)=-58.32\cdot e^{-0.9t}\cdot\dfrac{1-9e^{-0.9t}}{(1+9e^{-0.9t})^{3}}\) mit \(t\geq0\) (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie den Zeitpunkt \(t_{1}\) , zu dem die erste Ableitungsfunktion \(\dot{M}\) ein absolutes Maximum besitzt. Berechnen Sie die Differenz \(M(t_{1}+0.5)-M(t_{1}-0.5)\) und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. [6]

Aufgabe (d)

Zeichnen Sie \(G_{M}\) im Bereich \(0\leq t\leq13\) in ein Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab. Kennzeichnen Sie auch die die Differenz \(M(t_{1}+0.5)-M(t_{1}-0,5)\) in Ihrer Abbildung. [4]

Aufgabe (e)

Weisen Sie nach, dass die Funktion mit dem Term \(G(t)=\frac{80}{9}\ln(9+e^{0.9t})\) mit \(t\geq0\) eine Stammfunktion von M ist. [3]

Aufgabe (f)

Die durchschnittliche Milchsäurekonzentration \(\overline{M}\) in Gramm por Liter über einen Zeitraum \(\left[t_{1};t_{2}\right]\) in Stunden beträgt \(\overline{M}=\dfrac{1}{t_{2}-t_{1}}\cdot\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}M(t)dt\) . Berechnen Sie die durchschnittliche Milchsäurekonzentration in dieser Milchprobe in den ersten sechs Beobachtungsstunden. [3]

Geometrie, Teil 2.1

Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) sind die Punkte \(A(12;2;5)\) , \(B(10;8;3)\) , \(C(2;6;9)\) und \(D(4;20;7)\) gegeben. Runden Sie Ihre Endergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe (a)

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \(r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}+t\cdot\overrightarrow{AD}=\vec{0}\) und interpretieren Sie Ihr Ergebnis geometrisch. [6]

Aufgabe (b)

Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(BCD\). [3]

Aufgabe (c)

Die Gerade \(g_{AB}\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\) . Es gilt: \(C\notin g_{AB}\) (Nachweis nicht erforderlich!). Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(g_{AB}\) . [5]

Aufgabe 2

Die untere Abbildung zeigt einen Ausschnitt einer Kletterwand. Ein kartesisches Koordinatensystem des \(\mathbb{R}\) ist zur modellhaften Beschreibung der Kletterwand wie folgt gewählt: Der Boden der Kletterhalle liegt in der \(x_{1}x_{2}\)-Koordinatenebene und der Überhang \(ABCD\) in der Ebene \(F:-3x_{2}+2x_{3}-4=0\) . Der Überhang \(DCE\) liegt in der Ebene \(H:-3x_{2}+4x_{3}-15=0\) . Die Strecke \(\overline{AB}\) liegt in der \(x_{1}x_{3}\)-Koordinatenebene und verläuft parallel zur \(x_{1}\)-Achse.

Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter. Auf die Mitführung von Einheiten bei den Rechnungen kann verzichtet werden.

Aufgabe (a)

Ermitteln Sie, auf welcher Höhe \(h\) (siehe Abbildung) der Überhang \(ABCD\) beginnt. [2]

Aufgabe (b)

Eine Person klettert vom Boden bis zum Punkt \(E\) . Auf der Höhe von fünf Metern über dem Hallenboden ist von einem Überhang zu einem anderen Überhang zu klettern. Die Überhänge schließen einen stumpfen Winkel ein. Berechnen Sie das Maß dieses stumpfen Winkels auf eine Nachkommastelle gerundet. [3]

Aufgabe (c)

Die senkrechte Projektion des Überhanges \(DCE\) in die \(x_{1}x_{2}\)-Koordinatenebene ist das Dreieck \(C_{1}D_{1}E_{1}\) . Im Bereich des Dreiecks soll die Bodenfläche komplett mit drei rechteckigen Matten ausgelegt werden, die eine Breite von \(2\) Meter und eine Länge von \(3\) Meter besitzen. Bestimmen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes des Dreiecks \(C_{1}D_{1}E_{1}\) . Zeichnen Sie das Dreieck \(C_{1}D_{1}E_{1}\) sowie eine mögliche Anordnung der drei Matten in ein geeignetes Koordinatensystem ein. [4]

Geomertie, Teil 2.2

Aufgabe 1

Die untere Abbildung zeigt modellhaft einen Ausschnitt einer Berglandschaft einer Modelleisenbahn in einem kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) . Der Boden der Modelleisenbahn liegt in der \(x_{1}x_{2}\)-Koordinatenebene. Die Punkte \(B(60;30;0)\) , \(C(10;36;4)\) und \(F(40;70;58)\) legen eine Flanke der Berglandschaft fest. Das Dreieck \(CBF\) liegt in der Ebene \(E\) . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Zentimeter. Auf die Mitführung von Einheiten kann bei den Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe (a)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform. [4]

[zur Kontrolle: E:x_{1}+15x_{2}-10x_{3}=510 ]

Aufgabe (b)

Eine Stromleitung \(z\) der Modelleisenbahn verläuft näherungsweise geradlinig durch die Punkte \(L(40;44;27)\) und \(P(36;49.6;27)\) . Es gilt: \(P\in E\) .

Die Stromleitung \(z\) soll mit einem Mast \(\overline{LK}\) , der senkrecht zur \(x_{1}x_{2}\)-Koordinatenebene verläuft, gehalten werden. Ermitteln Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes \(K\in E\) und die Höhe \(\left|\overline{LK}\right|\) des Mastes. [4]

Aufgabe (c)

Im Schwerpunkt \(S\) des Dreiecks \(CBF\) soll eine Halterung für die Berglandschaft angebracht werden. Der Verankerungspunkt \(S\) soll vom Punkt \(P\) einen Mindestabstand von \(6\) Zentimeter haben. Überprüfen Sie, ob diese Vorgabe eingehalten wird. [4]

Aufgabe (d)

Die Punkte \(A\) , \(B\) und \(C\) legen eine Ebene \(G\) fest, in der sich die Flanke eines weiteren Berges befindet. Die Ebenen \(E\) und \(G\) schneiden sich senkrecht. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(G\) in Koordinatenform. Berechnen Sie auch das Maß des Neigungswinkels der Ebene \(G\) zur \(x_{1}x_{2}\)-Koordinatenebene. [6]

[ zur Kontrolle: \(G:30x_{1}+124x_{2}+189x_{3}-5520=0\) ]

Aufgabe 2

Berechnen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. [5]

\(\begin{array}{c} i)\qquad 6a-2b-3c=-20\\ ii)\qquad -a+6b-c=10\\ iii)\qquad -2b+3c=80 \end{array}\)