Exponentialfunktion

Mit dem Taschenrechner berechnet man folgende Werte:

\[ \begin{align}\begin{aligned}e-\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}\approx 0.013468\\e-\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}\approx 0.0013579\\e-(1+\frac{1}{1000000})^{1000000}\approx 0\end{aligned}\end{align} \]

Es gilt somit:

\[e-\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=0\text{ .}\]

Daraus folgt:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e=2.71828182\ldots\text{ ,}\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{n})^{n}=e^{2}\text{ oder}\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{5}{n})^{n}=e^{5}\text{ .}\end{aligned}\end{align} \]

Allgemein gilt:

\[\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^{n}=e^{x}\text{ für alle }x\in\mathbb{R}\text{ .}\]

Die Funktion

\[f:x\longmapsto e^{x}\text{ mit }x\in\mathbb{R}\]

heißt natürliche Exponentialfunktion. Die Zahl \(e=2.71828182\ldots\) ist die eulersche Zahl. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) ist \(f(x)=e^{x}>0\). Die natürliche Exponentialfunktion hat den Wertebereich \(W_{f}=\mathbb{R}^{+}\) und somit keine Nullstellen.

Für die natürliche Exponentialfunktion gelten folgende wichtige Rechenregeln:

  • \(e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}\) und \(\frac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}\) mit \(a,b\in \mathbb{R}\)
  • \(\left( e^{a}\right)^{b}=e^{a\cdot b}\)
  • Beachte: \(e^{a^{b}}\neq \left( e^{a}\right)^{b}=e^{a\cdot b}\), also \(e^{a^{b}}\neq e^{a\cdot b}\)
  • \(e^{-a}=\frac{1}{e^{a}}\) oder \(e^{a}=\frac{1}{e^{-a}}\)
  • \(e^{\frac{a}{w}}=\sqrt[w]{e^{a}}\) mit \(w\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\}\)
  • \(e^{-\frac{a}{w}}=\frac{1}{\sqrt[w]{e^{a}}}\) oder \(e^{\frac{a}{w}}=\frac{1}{\sqrt[w]{e^{-a}}}\)
  • Exponentialterme sind streng von Potenzterme zu unterscheiden. Potenzterme haben eine feste Hochzahl und eine variable Basis, z. B. \(x^{3}\). Exponentialterme haben eine feste Basis und eine variable Hochzahl, z. B. \(3^{x}\).
  • Die Umkehrung der Exponentialrechnung ist die Logarithmusrechnung. Es gilt: \(e^{a}=p\Longleftrightarrow a=\log_{e}p\) (Logarithmus zur Basis \(e\) von \(p\in\mathbb{R}^{+}\)). Für \(\log_{e}p\) schreibt man kurz: \(\ln p\). Somit gilt:
    \[e^{a}=p\Longleftrightarrow a=\ln p\text{ mit }p\in\mathbb{R}^{+}\text{ .}\]

    Der Logarithmus mit Basis \(e\) heißt natürlicher Logarithmus.

  • Jede positive reelle Zahl \(q>0\) kann als Exponential- oder Logarithmusterm angegeben werden. Man schreibt: \(q=e^{\ln q}=\log_{e}e^{q}=\ln e^{q}\). Somit kann jeder Exponentialterm mit Basis \(q\in \mathbb{R}^{+}\) auf einen Exponentialterm mit Basis \(e\) zurückgeführt werden. Deshalb gelten die obigen Rechenregeln auch für jede beliebige Basis \(q\in \mathbb{R}^{+}\).
  • Merke! \(q=e^{\ln(q)}\), also \(q^{a}=\left(e^{\ln(q)}\right)^a=e^{\ln(q) \cdot a}\) ; \(q\in \mathbb{R}^{+}\)
  • \(\ln (q)=\log_{e}(q)\) ist der Logarithmus zur Basis \(e\) von \(q\).
  • Die erste Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion berechnet sich wie folgt:
    \[f^{\prime}(x)={\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\left[n\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{n}\right]}=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}=e^{x}=f(x)\text{ ; }x\in\mathbb{R}\]
  • Die natürliche Exponentialfunktion ist in \(\mathbb{R}\) differenzierbar und es gilt:
    \[f^{\prime}(x)=e^{x}\text{ sowie }\int e^{x}dx=e^{x}+C\text{ mit }C\in\mathbb{R}\text{ .}\]
  • Weiter rechnet man: \(e^{0}=1\) ; \(f(x)=f^{\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)=e^{x}>0\) für alle \(x \in\mathbb{R}\)
  • Der Graph der natürlichen Exponentialfunktion schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(A(0;1)\) und verläuft in \(\mathbb{R}\) oberhalb der \(x\)-Achse.
  • Da zusätzlich gilt: \(f^{\prime}(x)=e^{x}>0\), ist die natürliche Exponentialfunktion in \(\mathbb{R}\) echt monoton zunehmend.
  • Der Graph \(G_{f}\) der natürlichen Exponentialfunktion ist in \(\mathbb{R}\) linksgekrümmt.
  • Der Graph \(G_{f}\) hat keine Extrem- und keine Wendepunkte.
  • Verhalten an den Rändern von \(\mathbb{R}\):
    \[\lim_{x\rightarrow\infty}e^{x}=\infty\text{ und }\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{e^{-x}}=0\]
  • Die \(x\)-Achse ist horizontale Asymptote von \(G_{f}\).
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Natürliche Exponentialfunktion

Für die natürliche Exponentialfunktion gibt es noch zwei weitere Integrationsregeln zu beachten:

  • \(\int f^{\prime}(x)\cdot e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C\)
  • \(\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}\int a\cdot e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+C\)