Logarithmusfunktion

• Aufgaben

Die natürliche Exponentialfunktion \(g:y=e^{x}\) hat den Definitionsbereich \(D_{g}=\mathbb{R}\) und den Wertebereich \(W_{g}=\mathbb{R}^{+}\). Außerdem ist der Graph der natürlichen Exponentialfunktion echt monoton steigend.

Stellt man die Gleichung \(y=e^{x}\) nach \(x\) um, so erhält man: \(x=\ln y\). Daraus definiert man die natürliche Logarithmusfunktion:

\[f:x\longmapsto\ln(x)\text{ mit }x\in\mathbb{R}^{+}\text{ .}\]

Die natürliche Logarithmusfunktion hat den Wertebereich \(W_{f}=\mathbb{R}\).

Für den natürlichen Logarithmus gelten folgende Rechenregeln:

• \(\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\)

  Nachweis: Für \(a,b\in\mathbb{R}^{+}\) gilt: \(a\cdot b=e^{\ln(a\cdot b)}\). Andererseits gilt auch: \(a\cdot b=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}=e^{\ln(a)+\ln(b)}\). Somit erhalten wir: \(e^{\ln(a\cdot b)}=e^{\ln(a)+\ln(b)}\) oder \(\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\).

• \(\ln a^{b}=b\cdot\ln a\)

  Nachweis: Es gilt: \(a^{b}=e^{\ln a^{b}}\). Andererseits gilt auch: \(a^{b}=\left(e^{\ln(a)}\right)^{b}=e^{\ln(a)\cdot b}=e^{b\cdot\ln(a)}\). Somit gilt: \(e^{\ln a^{b}}=e^{b\cdot\ln(a)}\) oder \(\ln a^{b}=b\cdot\ln a\).

• \(\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b\)

  Nachweis: \(\ln\frac{a}{b}=\ln(a\cdot b^{-1})=\ln(a)+\ln(b^{-1})=\ln a-\ln b\)

• \(\ln\sqrt[b]{a}=\frac{1}{b}\ln a\)

  Nachweis: \(\ln\sqrt[b]{a}=\ln a^{\frac{1}{b}}=\frac{1}{b}\ln a\)

• Basisumrechnung: Allgemein gilt: \(a^{x}=b\Longleftrightarrow x=\log_{a}b\). Andererseits gilt: \(a^{x}=b\) ; \(e^{\ln a^{x}}=e^{\ln b}\) ; \(e^{x\cdot\ln a}=e^{\ln b}\). Daraus folgt: \(x\cdot\ln a=\ln b\) ; \(x=\frac{\ln b}{\ln a}\). Somit gilt: \(\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}\). Für jede Funktion \(q:x\longmapsto\log_{a}x\) mit \(a\in\mathbb{R}^{+}\setminus\left\{ 1\right\}\) und \(x\in\mathbb{R}^{+}\) gilt:

  \[q(x)=\log_{a}x=\dfrac{\ln x}{\ln a}=\dfrac{1}{\ln a}\cdot\ln x\text{ .}\]

Somit kann jede Logarithmusfunktion auf die natürliche Logarithmusfunktion zurückgeführt werden und die obigen Rechengesetze gelten auch für jede beliebige Logarithmusfunktion.

Die erste Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion berechnet sich mit:

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\text{ ; }x\in\mathbb{R}^{+}\text{ .}\]

Nachweis: Es gilt \(e^{\ln x}=x\). Leitet man beide Seiten ab, so erhalten wir:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{d}{dx}(e^{\ln x})=1\\e^{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=1\\\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{e^{\ln x}}\\\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\end{aligned}\end{align} \]

\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}^{+}\). Die natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb{R}^{+}\) differenzierbar und echt monoton zunehmend. Es gilt:

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\text{ ; }f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}\text{ ; }x\in\mathbb{R}^{+}\text{ .}\]

\(G_{f}\) ist in \(\mathbb{R}^{+}\) rechtsgekrümmt und hat keine Extrem- oder Wendepunkte.

Der Graph \(G_{f}\) der natürlichen Logarithmusfunktion entsteht durch Spiegelung von \(G_{g}\) an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten. Graph \(G_{f}\) der natürlichen Logarithmusfunktion:

Natürliche Logarithmusfunktion

\(G_{f}\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(B(1;0)\) und für die Randwerte gilt:

\[\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\ln x\right)=\infty\text{ und }\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(\ln x\right)=-\infty\text{ .}\]

Die \(y\)-Achse ist vertikale Asymptote von \(G_{f}\). Das unbestimmte Integral der natürlichen Logarithmusfunktion berechnet sich mit:

\[\int\ln(x)dx=x\cdot\ln(x)-x+C\text{ mit }x\in\mathbb{R}^{+}\text{ und }C\in\mathbb{R}\text{ .}\]

Eine wietere Integrationsregel ist die partielle Integration. Für zwei integrierbare Funktionen \(u\) und \(v\) gilt:

\[\int\left(u(x)\cdot v^{\prime}(x)\right)dx=u(x)\cdot v(x)-\int\left(u^{\prime}(x)\cdot v(x)\right)dx+C\]