Prioritätsregeln
Bei der Kurvendiskussion von Exponential- und Logarithmusfunktionen treten die Funktionsterme in kombinierter Form auf. Der betrachtete Funktionsterm ist ein Produkt oder ein Quotient aus einem Exponential-, Logarithmus-, oder einem Polynomterm. Berechnet man bei solchen zusammengesetzten Termen einen Grenzwert, so stehen Polynomfunktionen, \(e\)-Funktionen oder \(\ln\)-Funktionen in gegenseitiger Konkurrenz. Mit Hilfe der Regel von L’Hospital können Regeln formuliert werden, die die Berechnung von Grenzwerten bei zusammengesetzten Funktionstermen erleichtern.
Seien \(f\) und \(g\) in \(D_{f}\) und \(D_{g}\) zwei differenzierbare Funktionen, für die entweder \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}g(x)=0\), oder \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}f(x)=\pm\infty\) sowie \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}g(x)=\pm\infty\) gilt.
Existiert der Grenzwert \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\), so existiert auch der Grenzwert \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}\) und es gilt:
Divergiert der Grenzwert \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\) bestimmt, so divergiert auch der Grenzwert \(\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}\) bestimmt.
Entsprechende Aussagen gelten auch für Grenzwerte mit \(x\rightarrow-\infty\) oder \(x\rightarrow x_{0}\).
Eine Folgerung der Regel von L’Hospital sind die Prioritätsregeln bei der Grenzwertbildung:
- Die \(e\)-Funktion dominiert bei der Grenzwertbildung für \(x\rightarrow\pm\infty\) oder \(x\rightarrow x_{0}\) über jede Polynomfunktion.
- Die Polynomfunktion dominiert bei der Grenzwertbildung für \(x\rightarrow\pm\infty\) oder \(x\rightarrow x_{0}\) über jede \(\ln\)-Funktion.