Kurvendiskussion von gebrochen-rationalen Funktionen

Als Kurvendiskussion bezeichnet man die Untersuchung einer gegebenen Funktion \(f\) mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung. Anschließend kann mit Hilfe der gewonnen Kenntnisse der Graph \(G_{f}\) der Funkion \(f\) genau gezeichnet werden. Die Diskussion einer reellen Funktion \(f\) umfasst Berechnungen zu:

  • Symmetrie von \(G_{f}\) zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse des Koordinatensystems,

  • Nullstellen und Arten der Definitionslücken von \(f\),

  • Asymptoten von \(G_{f}\),

  • Monotonieverhalten von \(f\) oder \(G_{f}\),

  • Krümmungsverhalten von \(G_{f}\),

  • Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von \(G_{f}\),

  • der Flächenzahl von bestimmten Flächen mit dem Integral.

Ableitungsregeln

Bei der Ableitung der gebrochen-rationalen Funktionen kommen zu den bekannten Ableitungsregeln noch einige dazu. Folgende Regeln erleichtern das Ableiten gebrochen-rationaler Funktionen.

  • Jede konstante Funktion \(f:x\longmapsto c\) ; \(c,x\in \mathbb{R}\) ist in \(\mathbb{R}\) differenzierbar und es gilt: \(f^{\prime }(x)=0\).

  • Die Funktionen \(f:x\longmapsto x^{n}\) ; \(n\in \mathbb{N}\) ; \(x\in \mathbb{R}\) sind differenzierbar in \(\mathbb{R}\) und es gilt: \(f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}\).

  • Die gebrochen-rationale Funktion \(f:x\longmapsto \dfrac{1}{x}\) ; \(D_{f}=\mathbb{R} \setminus \{0\}\) ist in \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) differenzierbar und es gilt: \(f^{\prime }(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\).

Gegeben sind zwei reelle Funktionen \(f\) und \(g\), die in ihren Definitionsmengen differenzierbar sind. Dann gilt:

  • Die Funktion \(k:x\longmapsto c\cdot f(x)\) mit \(c\in \mathbb{R}\) ist differenzierbar und es gilt: \(k^{\prime }(x)=c\cdot f^{\prime}(x)\).
  • Die Funktionen \(s:x\longmapsto f(x)+g(x)\) und \(d:x\longmapsto f(x)-g(x)\) sind differenzierbar und es gilt: \(s^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+ g^{\prime }(x)\) und \(d^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)- g^{\prime }(x)\).
  • Produktregel: Die Funktion \(p:x\longmapsto f(x)\cdot g(x)\) ist differenzierbar und es gilt: \(p^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)\).
  • Kettenregel: Ist \(g\) in \(D_{g}\) differenzierbar und \(f\) in \(W_{g}\) differenzierbar, dann ist die Funktion \(v:x\longmapsto f(g(x))\) in \(D_{v}\) differenzierbar und es gilt: \(v^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\).
  • Die Funktion \(u:x\longmapsto \dfrac{1}{f(x)}\) ist in \(x\in D_{u}\) differenzierbar und es gilt: \(u^{\prime }(x)=-\dfrac{f^{\prime }(x)}{f^{2}(x)}\).
  • Quotientenregel: Die Funktion \(q:x\longmapsto \dfrac{f(x)}{g(x)}\) ist in \(D_{q}\) differenzierbar und es gilt: \(q^{\prime }(x)=\dfrac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^{2}(x)}\).

Integrationsregeln

Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung.

  • Differentialrechnung: \(f(x)\longrightarrow f^{\prime}(x)\)

  • Integralrechnung: \(f^{\prime}(x)\longrightarrow f(x)=\int f^{\prime}(x)dx+C\) ; \(C\in\mathbb{R}\)

Eine Stammfunktion \(F\) einer gegebenen Funktion \(f\) ist eine Funktion, die im gleichen Intervall wie \(f\) definiert ist und es gilt: \(F^{\prime}(x)=f(x)\).

  • Schreibweise: \(F(x)=\int f(x)dx+C\) mit \(F^{\prime}(x)=f(x)\) und \(C\in\mathbb{R}\)

Zu jeder integrierbaren Funktion \(f\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante \(C\) unterscheiden. Alle Stammfunktionen besitzen an allen Stellen \(x_{0}\) die gleiche Steigung, da ihre Ableitungen gleich sind. Die Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung in \(y\)-Richtung ineinander über.

Integrale, deren Integrationskonstante \(C\) nicht festgelegt ist, werden durch eine Funktionenschar repräsentiert. Diese Funktionenschar heißt unbestimmtes Integral.

  • \(I=\int f(x)dx+C\) ; \(C\in\mathbb{R}\)

Sind bei einem Integral die Integrationsgrenzen festgelegt, so liegt ein bestimmtes Integral vor und das Ergebnis ist eine reelle Zahl.

  • \(A=\int_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\in\mathbb{R}\)

\(F(x)\) ist dabei eine beliebige Stammfunktion von \(f(x)\). Falls für die Funktion \(f\) gilt: \(f(x)\geq 0\) für alle \(x\in\left[a;b\right]\) mit \(a<b\), so ist die berechnete Zahl \(A\) die Flächenzahl der Fläche, die von \(G_{f}\), der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x=a\) und \(x=b\) eingeschlossen wird.

Die Integration wird mit Hilfe folgender Integrationsregeln durchgeführt:

  • Faktorregel: \(\int c\cdot f(x)dx=c\cdot\int f(x)dx\)
  • Summenregel: \(\int(f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)
  • Potenzregel: \(\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\) mit \(n\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
  • Vertauschungsregel: \(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)
  • Gleiche Grenzen: \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)
  • Intervallregel: \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
  • Spezielle Form: \(\int f(x)\cdot f^{\prime}(x)dx=\frac{1}{2}(f(x))^{2}+C=\frac{1}{2}f^{2}(x)+C\)
  • Logarithmische Integration: \(\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\ln\left|f(x)\right|+C\)
  • Substitutionsregel: \(\int f(g(x))\cdot g^{\prime}(x)dx=\int f(z)dz\) mit \(z=g(x)\)

Uneigentliche Integrale:

  • \(\int_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)
  • \(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)
  • \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^{a}f(x)dx\)

Man berechnet zunächst das Integral mit endlichen Grenzen und bildet dann den Grenzwert.