Definitionslücken und Asymptoten
Eine Funktion der Form
mit dem Definitionsbereich \(D_{f}\subseteq \mathbb{R}\), wobei \(Z(x)\) und \(N(x)\) Polynome in \(x\) sind und \(N(x)\) einen Grad größer Null besitzt, heißt gebrochen-rationale Funktion. Ist der Grad des Zählers \(Z(x)\) der gebrochen-rationalen Funktion \(f\) kleiner als der Grad des Nenners \(N(x)\), so heißt die Funktion \(f\) echt gebrochen-rationale Funktion, im anderen Fall heißt die Funktion \(f\) unecht gebrochen-rationale Funktion. Falls nichts weiter gesagt wird, ist mit \(D_{f}\) der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion \(f\) gemeint.
Im Gegensatz zu ganzrationalen Funktionen ist der größtmögliche Definitionsbereich bei gebrochen-rationalen Funktionen im Allgemeinen nicht \(\mathbb{R}\), sondern eine Teilmenge davon, also \(D_{f}\subseteq \mathbb{R}\). Es gibt Definitionslücken.
Arten von Definitionslücken
Die Definitionslücken einer gebrochen-rationalen Funktion \(f\) sind die reellen Lösungen der Gleichung \(N(x)=0\). An diesen Stellen ist die Funktion \(f\) nicht definiert. Es gibt zwei Arten von Definitionslücken, nämlich stetig behebbare Definitionslücken und Polstellen auch Unendlichkeitsstellen genannt.
Die Art der Definitionslücken einer gebrochen-rationalen Funktion bestimmt man mit Hilfe der vollständigen Linearfaktorenzerlegung der Zählerterms \(Z(x)\) und des Nennerterms \(N(x)\). Die gebrochen-rationale Funktion hat nun die Form:
Die Zahl \(x_{0}\) ist genau eine \(p\)-fache Lösung der Gleichung \(Z(x)=0\) und genau eine \(q\)-fache Lösung der Gleichung \(N(x)=0\). Man kann also den Linearfaktor \((x-x_{0})\) aus dem Zähler und dem Nenner des Funktionsterms \(f(x)\) kürzen. Zu beachten sind dabei drei Fälle, nämlich \(p>q\), \(p<q\) und \(p=q\).
Für \(p<q\) gilt: \(f(x)=\dfrac{(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots}{(x-x_{0})^{q-p}(x-x_{3})(x-x_{4})\cdots}\).
Nach dem Kürzen verschwindet der Linearfaktor \((x-x_{0})\) aus dem Zähler, nicht aber aus dem Nenner. Man sagt dazu, die Stelle \(x=x_{0}\) ist eine Polstelle \((q-p)\)-ter Ordnung. Ist die Ordnung der Polstelle, \((q-p)\) eine ungerade Zahl, so wechselt \(f(x)\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen. Ist die Ordnung der Polstelle, also \((q-p)\) eine gerade Zahl, so wechselt \(f(x)\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen nicht.
Für \(p>q\) gilt: \(f(x)=\dfrac{(x-x_{0})^{p-q}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots}{(x-x_{3})(x-x_{4})\cdots}\).
Nach dem Kürzen verschwindet der Linearfaktor \((x-x_{0})\) nicht aus dem Zähler, aber aus dem Nenner. Man sagt dazu, dass die Stelle \(x=x_{0}\) eine stetig behebbare Definitionslücke ist.
Für \(p=q\) gilt: \(f(x)=\dfrac{(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots}{(x-x_{3})(x-x_{4})\cdots}\).
Nach dem Kürzen verschwindet der Linearfaktor \((x-x_{0})\) aus dem Zähler und aus dem Nenner. Man sagt dazu, dass die Stelle \(x=x_{0}\) eine stetig behebbare Definitionslücke ist.
Asymptoten bei Graphen gebrochen-rationaler Funktionen
Sei die gebrochen-rationale Funktion
mit dem Definitionsbereich \(D_{f}\subseteq \mathbb{R}\) so gegeben, dass die Polynome \(Z(x)\) und \(N(x)\) außer der \(1\) kein weiteres gemeinsames Teilerpolynom besitzen, also teilerfremd sind. Der Zählergrad ist \(m\) und der Nennergrad ist \(n\).
Ist \(m>n\), so ist \(f\) eine unecht gebrochen-rationale Funktion. Durch die Polynomdivision von \(Z(x)\) mit \(N(x)\) kann der Funktionsterm \(f(x)\) durch eine Summe aus einem ganzrationalen Term \(p(x)\) und einen echt gebrochen-rationalen Term \(q(x)\) dargestellt werden.
Für \(x\rightarrow\infty\) oder \(x\rightarrow-\infty\) gilt: \(q(x)\rightarrow 0\), d. h. dass sich im Unendlichen der Graph \(G_{f}\) an den Graphen \(G_{p}\) des ganzrationalen Terms \(p(x)\) annähert. Aus diesem Grund ist \(G_{p}\) eine Asymptotenkurve von \(G_{f}\). Die Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen haben je nach Zähler- und Nennergrad unterschiedliche Asymptoten.
Für \(m<n\), also Zählergrad kleiner Nennergrad gilt:
Die Gerade mit der Gleichung \(y=0\), also die \(x\)-Achse, ist eine horizontale Asymptote von \(G_{f}\). Jede echt gebrochen-rationale Funktion hat also die \(x\)-Achse als horizontale Asymptote.
Für \(m=n\), also Zählergrad gleich Nennergrad gilt:
Die Gerade mit der Gleichung \(y=\dfrac{a_{m}}{b_{m}}\) ist eine horizontale Asymptote von \(G_{f}\).
Für \(m=n+1\), also Zählergrad um Eins größer als Nennergrad, lässt sich der Funktionsterm \(f(x)\) mit Hilfe der Polynomdivision als eine Summe aus dem linearen Term \(p(x)=mx+t\) und dem echt gebrochen-rationalen Term \(q(x)\) darstellen. Die Gerade mit der Gleichung \(y=mx+t\) ist eine schiefe Asymptote von \(G_{f}\).
Hat die gebrochen-rationale Funktion \(f\) die Polstelle \(x=x_{0}\), so gilt \(Z(x_{0})\neq 0\) und \(N(x_{0})=0\). Aus \(x\rightarrow x_{0}\) folgt dann: \(Z(x)\neq 0\) und \(N(x)\rightarrow0\), also \(\left\vert f(x)\right\vert \rightarrow\infty\). Die vertikale Gerade, die in einem Koordinatensystem durch die Gleichung \(x=x_{0}\) festgelegt ist, heißt vertikale Asymptote von \(G_{f}\). Für \(x\rightarrow x_{0}\) nähert sich \(G_{f}\) dieser vertikalen Asymptote an.