Gemischte Aufgaben

Aufgabe 1

Im \(\mathbb{R}^{3}\) bestimmen die Punkte \(M\), \(N\) und \(P\) ein Dreieck. Es gilt: \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{b}\). Der Punkt \(Q\) liegt auf der Strecke \(\overline{NP}\).

  1. Bestimmen Sie \(\overrightarrow{MQ}\) als Linearkombination von \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\).

  2. Welche Eigenschaft haben alle Punkte, die im Inneren der Dreiecksfläche liegen?

Aufgabe 2

Im kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) sind die Punkte \(A(8;5;6)\), \(B(4;1;-1)\), \(P_{a}(2;a;-1)\) und \(Q_{b}(-2b;b;b+1)\) mit \(a,b\in\mathbb{R}\) und die Geraden \(h_{1}:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\) und \(h_{2}:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) gegeben. Die Geraden \(h_{1}\) und \(h_{2}\) legen die Ebene \(E\) fest. (AP 2016, 12 T, B I)

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

  2. Die Ebene \(E:4x_{1}+4x_{2}+7x_{3}-13=0\) schneidet die \(x_{1}x_{3}\)-Ebene in der Geraden \(s\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(s\).

  3. Die Gerade \(g\) geht durch den Punkt \(A\) und schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(P_{a}\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(g\).

  4. Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(A\) von der Ebene \(E\) sowie die Koordinaten des Spiegelpunktes \(A^{*}\), der durch Spiegelung des Punktes \(A\) an der Ebene \(E\) entsteht.

  5. Prüfen Sie, ob es einen Wert für den Parameter \(b\) so gibt, dass die Vektoren \(\overrightarrow{BA}\) und \(\overrightarrow{BQ}_{b}\) orthogonal sind.

  6. Berechnen Sie die Volumenzahl \(V\) der Pyramide \(ABQ_{2}P_{3}\).

  7. Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar \(f_{c}:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}6\\ 5\\ 4 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}c-1.5\\ c^{2}\\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(c,k\in\mathbb{R}\). Untersuchen Sie, für welche Werte von \(c\) sich die Gerade \(g\) aus Aufgabe (c) mit einer der Geraden \(f_{c}\) schneidet.

Aufgabe 3

Im \(\mathbb{R}^{3}\) sind die drei linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) gegeben. Entscheiden und begründen Sie, welche der folgenden fünf Aussagen stets richtig, möglich oder immer falsch sind. (AP 2018, T 12, B I)

  1. \(\left|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right|>0\) ; \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\) ; \(\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\right|=\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\right)\cdot\overrightarrow{b}\right|\) ; Es existiert eine Ebene, in der alle drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) liegen. ; Es gibt einen Vektor im \(\mathbb{R}^{3}\) , der sich nicht als Linearkombination der Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) darstellen lässt.

  2. Ein Speichenreflektor für ein Fahrrad beruht auf dem Prinzip eines Tripelspiegels. Dieser reflektiert einfallende Strahlung unabhängig von seiner Ausrichtung weitgehend zurück zur Strahlungsquelle. Erreicht wird dieser Effekt durch drei ebene Spiegel, die aufeinander senkrecht stehen. Die drei Koordinatenebenen des \(\mathbb{R}^{3}\) bilden zusammen einen derartigen Tripelspiegel. Ein vom Punkt \(A(7;12;2)\) in Richtung \(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-1\\ -2\\ -1 \end{pmatrix}\) ausgehender Lichtstrahl trifft im Punkt \(S\) auf die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Geben Sie eine Gleichung für die Gerade \(g\) an, auf welcher der Lichtstrahl verläuft. Zeigen Sie, dass gilt: \(S(5;8;0)\).

  3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden \(h\), auf der, der an der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene reflektierte Strahl verläuft.

  4. Zeigen Sie rechnerisch, dass bei der Reflexion des Lichtstrahls an der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist.

  5. Berechnen Sie den Abstand von \(h\) zur Ecke des Tripelspiegels, das sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet.

Aufgabe 4

Ein Hotel wurde in Form einer vierseitigen Pyramide mit gleich großen gläsernen Seitenflächen gebaut. In einem kartesischen Koordinatensystem des \(\mathbb{R}^{3}\) stellen die Punkte \(A(2;1;3)\), \(B(2;31;3)\), \(C(-28;31;3)\) und \(D(-28;1;3)\) die Eckpunkte der Grundfläche und der Punkt \(S(-13;16;30)\) die Spitze der Pyramide dar. In der Nähe des Hotels befindet sich ein Kanal, dessen Uferlinie in einem bestimmten Bereich geradlinig verläuft und modellhaft durch die Gerade \(g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}27\\ -24\\ 3 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(k\in\mathbb{R}\) beschrieben werden kann. Alle Koordinaten sind in der Einheit Meter angegeben. Auf das Mitführen der Einheiten kann bei den Berechnungen verzichtet werden. (AP 2018, T 12 , B II)

  1. Zeigen Sie, dass die Grundfläche \(ABCD\) des Hotels quadratisch ist.

  2. Die Kante \(\overline{AB}\) des Hotels liegt auf der Geraden \(s\). Stellen Sie eine Gleichung der Geraden \(s\) auf und zeigen Sie, dass \(s\) echt parallel zur Geraden \(g\) verläuft.

  3. Die Grundfläche \(ABCD\) der Pyramide und die Gerade \(g\) liegen in der Ebene \(E\). Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung der Ebene \(E\) in Parameter- sowie in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem.

  4. Eine Reinigungsfirma wird mit der fachgerechten Reinigung der gläsernen Seitenflächen des Hotels beauftragt. Berechnen Sie die Mantelfläche der Pyramide und ermitteln Sie die Kosten der Reinigung auf Euro gerundet, wenn für \(1\,\mathrm{m^{2}}\) gereinigte Fläche \(5\) Euro veranschlagt werden.

  5. Ein Fassadenkletterer befindet sich auf der Kante \(\overline{BS}\) der Pyramide. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Kante \(\overline{BS}\) zur Grundfläche \(ABCD\). Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

  6. Für Werbezwecke soll von der Spitze \(S\) des Hotels auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals eine Lichterkette gespannt werden. Berechnen Sie die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

  7. Ein Kanal-Passagierschiff passiert nachts das Hotel. Vom Punkt \(Q(27;-3;3)\) wird vom Schiff ein Lichtstrahl in Richtung des Vektors \(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-30\\ 19\\ 9 \end{pmatrix}\) gesendet. Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl die gläserne Seitenfläche \(ABS\) des Hotels trifft.

Aufgabe 5

Im \(\mathbb{R}^{3}\) sind die Punkte \(A(1;3;-2)\), \(B_{k}(k;0;1)\) mit \(k\in\mathbb{R}\) und \(C(-1;6;0)\) sowie die Ebene \(E:5x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=4\) gegeben. (AP 2014, 12 T, B II)

  1. Die Ebene \(E\) schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten \(X\), \(Y\) und \(Z\). Bestimmen Sie die Volumenzahl der Pyramide \(OXYZ\).

  2. Bestimmen Sie den Wert für \(k\) so, dass die Vektoren \(\overrightarrow{AB}_{k}\) und \(\overrightarrow{AC}\) orthogonal zueinander sind.

  3. Berechnen Sie denjenigen Wert von \(k\) so, dass die Flächenzahl \(F(k)\) des Dreiecks \(AB_{k}C\) minimal wird.

  4. Die Ebene \(H_{k}\) enthält das Dreieck \(AB_{k}C\) und wird beschrieben durch die Gleichung \(H_{k}:-15x_{1}-\left(2k+4\right)x_{2}+\left(3k-9\right)x_{3}=-12k-9\). Untersuchen Sie, für welche Werte von \(k\) sich die Ebene \(E\) und \(H_{k}\) in einer gemeinsamen Geraden schneiden.

  5. Berechnen Sie für \(k=3\) eine Gleichung der Schnittgeraden von \(E\) und \(H_{3}\) sowie den Schnittwinkel zwischen \(E\) und \(H_{3}\) gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.

  6. Bestimmen Sie den Wert für \(k\) so, dass \(H_{k}\) den Ursprung enthält. Untersuchen Sie anschließend, ob in diesem Fall der Ursprung \(O\) im Inneren des Dreiecks \(AB_{k}C\) liegt.