Gemischte Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen \(f_{a}(x)=\dfrac{2ax}{x^{2}+a}\) mit \(a\neq0\) und der Definitionsmenge \(D_{a}\subseteq\mathbb{R}\).

Bestimmen Sie \(D_{a}\), Anzahl und Art der Definitionslücken in Abhängigkeit von \(a\).
Untersuchen Sie, ob der Graph \(G_{f_{a}}\) der Funktion \(f_{a}\) symmetrisch zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse verläuft. Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von \(G_{f_{a}}\) in Abhängigkeit von \(a\).
Untersuchen Sie für welche Werte von \(a\) der Graph \(G_{f_{a}}\) Extrempunkte hat.
Berechnen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die \(G_{f_{a}}\) an der Stelle \(x=4\) die Steigung \(-\frac{6}{25}\) hat.
Für \(a=4\) gilt: \(f_{4}(x)=f(x)=\dfrac{8x}{x^{2}+4}\) und \(G_{f_{4}}\) ist kurz \(G_{f}\). Untersuchen Sie die Monotonie von \(f\) und bestimmen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte von \(G_{f}\).
Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten und die Koordinaten der Wendepunkte von \(G_{f}\).
Skizzieren Sie \(G_{f}\) in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem.
Die Ursprungsgerade durch den Hochpunkt von \(G_{f}\) schließt mit \(G_{f}\) eine endliche Fläche \(A\) ein. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche und geben Sie diese in der Form \(k_{1}+k_{2}\cdot\ln(2)\) an.
Ermitteln Sie diejenigen Geraden aus dem Geradenbüschel \(g_{m}\) mit der Gleichung \(g_{m}(x)=m\cdot x\), \(m,x\in\mathbb{R}\), die mit \(G_{f}\) genau einen Punkt gemeinsam haben.

Aufgabe 2

Gegeben sind die Funktionen \(f_{a}(x)=\frac{1}{4}x^{3}-ax+4\) mit \(a,x\in\mathbb{R}\). Der Graph der Funktion \(f_{a}\) ist die Kurve \(G_{f_{a}}\).

Zeigen Sie, dass alle Kurven \(G_{f_{a}}\) den gleichen Wendepunkt und sonst keinen gemeinsamen Punkt haben.

Untersuchen Sie die Monotonie von \(f_{a}\) in Abhängigkeit von \(a\).

Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(a\), für den die Wendetangente von \(G_{f_{a}}\) durch den Punkt \(Q(-\frac{1}{3};5)\) verläuft.

Für \(a=3\) gilt: \(f_{3}(x)=f(x)=\frac{1}{4}x^{3}-3x+4\) und \(G_{f_{a}}\) ist kurz \(G_{f}\). Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\) und ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte von \(G_{f}\).

Die quadratische Funktion \(p\) hat eine Nullstelle \(x_{0}=-4\). Der Graph \(G_{p}\) von \(p\) schneidet den Graphen \(G_{f}\) auf der \(y\)-Achse und hat dort die Steigung \(\frac{1}{3}\). Bestimmen Sie \(p(x)\).

Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes von \(G_{p}\). Skizzieren Sie \(G_{f}\) und \(G_{p}\) in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem.

\(G_{f}\) und \(G_{p}\) schließen zwei Flächen ein. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Flächen.

Betrachtet wird weiter die Funktion \(q(x)=e^{0.777x+3.871}-2.145\) mit \(x\in\mathbb{R}\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_{q}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(G_{q}\) durch die Punkte \(P_{1}(-4;0)\), \(P_{2}(-2;8)\) verläuft und \(G_{p}\) im Punkt \(P_{1}\) berührt.

Skizzieren Sie \(G_{q}\) in das obige Koordinatensystem ein. \(G_{f}\), \(G_{p}\) und \(G_{q}\) schließen im 2. Quadranten eine endliche Fläche ein. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche.

Aufgbae 3

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=4\dfrac{1+\ln(1-x)}{1-x}\) mit \(D_{f}\subseteq\mathbb{R}\).

Bestimmen Sie \(D_{f}\) und die Nullstelle von \(f\).

Untersuchen Sie das Verhalten von \(f(x)\) an den Rändern von \(D_{f}\).

Ermitteln Sie aus der Monotonie von \(f\) Art und Koordinaten des Extrempunktes von \(G_{f}\).

Bestimmen Sie die Wertemenge \(W_{f}\).

Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von \(G_{f}\) gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.

Skizzieren Sie \(G_{f}\) und die Wendetangente in ein geeignetes Koordinatensystem.

\(G_{f}\), die Wendetangente und die \(x\)-Achse schließen eine endliche Fläche ein. Berechnen Sie die Flächenzahl dieser Fläche gerundet auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen \(f_{a}(x)=\left( ax-1\right) e^{ax}\) mit \(a\in \mathbb{R}^{+}\) und \(x\in\mathbb{R}\). Der Graph einer solchen Funktion \(f_{a}\) in einem kartesischen Koordinatensystem ist die Kurve \(K_{a}\).

Berechnen Sie die Nullstelle von \(f_{a}\) in Abhängigkeit von \(a\).

Bestimmen Sie das Verhalten von \(f_{a}\) für \(\left\vert x\right\vert\rightarrow \infty\).

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{a}\) und bestimmen Sie Art und Koordinaten des absoluten Extrempunktes von \(K_{a}\).

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(K_{a}\) und berechnen Sie die Koordinaten des Wendpunktes von \(K_{a}\).

Für \(a=0.5\) erhält man die Funktion \(f_{0.5}\), die kurz mit \(f\) bezeichnet wird. Die Kurve \(K_{0.5}\) wird kurz mit \(K\) bezeichnet. Es gilt: \(f_{0.5}(x)=f(x)=\left( \frac{1}{2}x-1\right) e^{\frac{x}{2}}\). Geben Sie die Koordinaten des Extrem- und des Wendepunktes sowie des Punktes von \(K\) auf der \(x\)-Achse an. Skizzieren Sie \(K\) in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem.

Gegeben ist weiter \(F(x)= \left( px+q\right) e^{\frac{x}{2}}\) mit \(p,q,x\in \mathbb{R}\). Bestimmen Sie \(p\) und \(q\) so, dass die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

Die \(y\)-Achse, die positive \(x\)-Achse und \(K\) begrenzen ein endliches Flächenstück. Berechnen Sie die Flächenzahl dieses Flächenstücks.

Durch die reellen Funktionen \(g_{s}(x)=s(\frac{1}{2}x-1)\) mit \(x\in\mathbb{R}\) und \(s\in\mathbb{R}^{+}\) sind die Geraden \(G_{s}\) gegeben. Zeichnen Sie für \(s=1.5\) die Gerade \(G_{1.5}\) in das vorhandene Koordinatensystem mit ein. Berechnen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von \(G_{s}\) und \(K\) in Abhängigkeit von \(s\).

Untersuchen Sie, für welchen Wert von \(s\) die Kurve \(K\) und die Gerade \(G_{s}\) nur einen gemeinsamen Punkt besitzen. Zeigen Sie, dass die zu diesem Wert gehörende Gerade \(G_{s}\) die Kurve \(K\) berührt.

Von nun an gilt \(0<s<e\). Die Punkte \(A_{s}\), \(B\) und \(N_{s}(2\ln s;0)\) sind die Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt \(J(s)\). Bestimmen Sie den Flächeninhalt \(J(s)\) in Abhängigkeit von \(s\).

Berechnen Sie \(\underset{s\rightarrow e^{-}}{\lim}J(s)\) und \(\underset{s\rightarrow 0^{+}}{\lim}J(s)\).

Untersuchen Sie, für welchen Wert von \(s\) der Flächeninhalt \(J(s)\) einen absoluten Extremwert annimmt.