Prüfung 2026 ------------ .. _klasse_13_jahr_2026: .. |br| raw:: html
.. |hr| raw:: html
Analysis, Teil 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Gegeben ist die Funktion :math:`f` mit dem Term :math:`f(x)=\dfrac{(x+1)(x-2)}{2x-6}` und der größtmöglichen Definitionsmenge :math:`D_{f}\subseteq\mathbb{R}` . Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt ihres Graphen :math:`G_{f}` . .. tikz:: :align: left :xscale: 90 \draw[very thin,color=gray] (-7.4,-3.4) grid (13.4,7.4); \draw[->] (-7.7,0) -- (13.7,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-3.7) -- (0,7.7) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-7:2.65,color=magenta,samples=100] plot(\x,{((\x)^2-\x-2)/(2*(\x)-6)}); \draw[line width=0.5mm,domain=3.4:13,color=magenta,samples=100] plot(\x,{((\x)^2-\x-2)/(2*(\x)-6)}) node[right]{$G_{f}$}; Aufgabe (a) ::::::::::: Geben Sie :math:`D_{f}` und die Gleichung der senkrechten Asymptote von :math:`G_{f}` an. Ermitteln Sie auch die Koordinaten des Schnittpunktes von :math:`G_{f}` mit der :math:`y`-Achse. [3] Aufgabe (b) ::::::::::: Berechnen Sie die Gleichung der schrägen Asymptote von :math:`G_{f}` . Untersuchen Sie anschließend rechnerisch, ob sich :math:`G_{f}` , für :math:`x\rightarrow+\infty` der schrägen Asymptote von oben oder von unten nähert. Zeichnen Sie alle Asymptoten von :math:`G_{f}` in ein geeignetes Koordinatensystem. [5] Aufgabe (c) ::::::::::: :math:`F` ist eine Stammfunktion von :math:`f` mit :math:`D_{F}=D_{f}` . Ihr Graph wird mit :math:`G_{F}` bezeichnet. Entscheiden Sie, ob die folgenden fünf Aussagen jeweils wahr (w), falsch (f) oder nicht entscheidbar (n. e.) sind. Nutzen Sie hierfür die gegebene Graphik aus. [5] |hr| - :math:`G_{F}` ist streng monoton steigend in :math:`]-\infty;1]` . - :math:`G_{F}` hat bei :math:`x=2` einen relativen Hochpunkt. - Der Wert :math:`\int_{-2}^{2}f(x)dx` ist negativ. - Für :math:`x\rightarrow+\infty` gilt: :math:`F(x)\rightarrow\frac{1}{2}` . - :math:`G_{F}` verläuft durch den Koordinatenursprung. Aufgabe 2 ......... Gegeben ist die Funktion :math:`k` mit dem Term :math:`k(x)=4x\cdot e^{-x}` und der Definitionsmenge :math:`D_{k}=\mathbb{R}` . Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt ihres Graphen :math:`G_{k}` . .. tikz:: :align: left :xscale: 75 \draw[very thin,color=gray] (-1.4,-1.9) grid (6.4,1.9); \draw[->] (-1.7,0) -- (6.7,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-2.2) -- (0,2.2) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-0.3:6.4,color=olive,samples=100] plot(\x,{4*\x*e^(-\x)}) node[above]{$G_{k}$}; \draw[line width=1mm,color=red] (0,0) -- (1,0) -- (1,1.47); \draw[line width=1mm,domain=0:1,color=red,samples=100] plot(\x,{4*\x*e^(-\x)}); Aufgabe (a) ::::::::::: Zeigen Sie, dass die Funktion :math:`K` mit dem Term :math:`K(x)=-4(x+1)\cdot e^{-x}` und der Definitionsmenge :math:`D_{K}=D_{k}` eine Stammfunktion von :math:`k` ist. [2] Aufgabe (b) ::::::::::: In der oberen Abbildung ist ein Flächenstück markiert. Bestimmen Sie die exakte Maßzahl des Inhalts dieses Flächenstücks. [3] Aufgabe 3 ......... Gegeben ist die Funktion :math:`h` mit dem Term :math:`h(x)=\dfrac{\ln(x^{2})}{x}` und der Definitionsmenge :math:`D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{0\}` . Begründen Sie, dass die Aussage „Die Funktion :math:`h` hat genau eine Extremstelle." falsch ist. [3] Geometrie, Teil 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... In einem kartesischen Koordinatensystem des :math:`\mathbb{R}^{3}` ist der Vektor :math:`\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}` gegeben. Aufgabe (a) ::::::::::: Geben Sie einen Vektor :math:`\vec{b}` ungleich dem Nullvektor an, sodass folgendes gilt: :math:`\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}` . [1] Aufgabe (b) ::::::::::: Ermitteln Sie einen Vektor :math:`\vec{c}` , der kollinear zum Vektor :math:`\vec{a}` ist und exakt die Länge :math:`9` besitzt. [2] Aufgabe 2 ......... In einem kartesischen Koordinatensystem des :math:`\mathbb{R}^{3}` sind die Ebene :math:`E:3x_{1}-2x_{2}=-6` und der Punkt :math:`P(1;-2;0)` gegeben. Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene :math:`E` mit den Koordinatenachsen und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene :math:`E` in einer Skizze wie unten zu sehen. Nennen Sie auch die besondere Lage von :math:`E` im Koordinatensystem. [4] .. figure:: images/13_nt_2026_01.png :align: center :width: 60% Aufgabe (b) ::::::::::: Vom Punkt :math:`P(1;-2;0)` aus wird ein Lot auf die Ebene :math:`E` gefällt. Zeigen Sie, dass der Lotfußpunkt :math:`L` die Koordinaten :math:`(-2;0;0)` hat. [3] Aufgabe (c) ::::::::::: Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes :math:`Z`, welcher im Vergleich zu :math:`P` den doppelten Abstand zur Ebene :math:`E` hat und auf der dem Punkt :math:`P` gegenüberliegenden Seite von :math:`E` liegt. [2] Analysis, Teil 2.1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Die untere Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen :math:`G_{g}` einer gebrochen-rationalen Funktion :math:`g` mit der Definitionsmenge :math:`D_{g}=\mathbb{R}\setminus\{2\}` . Alle Asymptoten von :math:`G_{g}` sind gekennzeichnet. Beide Schnittpunkte von :math:`G_{g}` mit den Koordinatenachsen sind ganzzahlig. .. tikz:: :align: left :xscale: 90 \draw[very thin,color=gray] (-6.9,-1.9) grid (10.9,6.9); \draw[->] (-7.2,0) -- (11.2,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-2.2) -- (0,7.2) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $2$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $2$}; \draw[line width=0.5mm,color=teal] (2,-2.2) -- (2,7.2) node[right]{$v$}; \draw[line width=0.5mm,color=teal] (-7.2,0) -- (11.2,0) node[above]{$h$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-7:0.1,color=brown,samples=100] plot(\x,{10*(\x+0.5)/(\x-1)^2}); \draw[line width=0.5mm,domain=3.4:11,color=brown,samples=100] plot(\x,{10*(\x+0.5)/(\x-1)^2}) node[right]{$G_{g}$}; Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie für die Funktion :math:`g` einen möglichen Funktionsterm :math:`g(x)` und erläutern Sie dabei nachvollziehbar Ihr Vorgehen. [4] Aufgabe (b) ::::::::::: Für die folgenden Teilaufgaben ist nun zusätzlich bekannt: Die Funktion :math:`g` besitzt genau eine Extremstelle, und zwar bei :math:`x=-4` . Außerdem besitzt :math:`g` auch genau eine Wendestelle, und zwar bei :math:`x=-7` . Geben Sie mithilfe der Abbildung und anhand der weiteren vorliegenden Informationen über die Funktion :math:`g` die größmöglichen Monotonie- und Krümmungsintervalle von :math:`G_{g}` an. [4] Aufgabe (c) ::::::::::: Der Graph :math:`G_{g}` , die :math:`x`-Achse und die :math:`y`-Achse schließen im zweiten Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Skizzieren Sie :math:`G_{g}` und kennzeichnen Sie in der Skizze dieses Flächenstück. Ermitteln Sie die Maßzahl dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet. Verwenden Sie hierfür ohne Nachweis, dass die Funktion mit dem Term :math:`G(x)=40\cdot\left(\ln\left|x-2\right|-\dfrac{3}{x-2}\right)` mit :math:`D_{g}=\mathbb{R}\setminus\{2\}` eine Stammfunktion von :math:`g` ist. [4] Aufgabe (d) ::::::::::: Gegeben ist die Funktion :math:`p` mit dem Term :math:`p(x)=\ln(g(x))` mit der maximalen Definitionsmenge :math:`D_{p}\subseteq\mathbb{R}:math:` . Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung die Definitionsmenge :math:`D_{p}` an und bestimmen Sie mithilfe von :math:`G_{g}` das Verhalten der Funktionswerte von :math:`p` bei Annäherung an die Ränder von :math:`D_{p}` . Geben Sie auch die Gleichungen der Asymptoten des Graphen von :math:`p` an. [5] Aufgabe (e) ::::::::::: Begründen Sie, dass die Funktion :math:`p` genau zwei Nullstellen besitzt. [3] Aufgabe 2 ......... Mammutbäume sind die größten Bäume der Welt. Manche Exemplare wachsen im nordamerikanischen Kontinent über :math:`100` Meter hoch und sind über :math:`2000` Jahre alt. Mammutbäume gelten als stabile und klimaresiliente Bäume mit einem hohen :math:`CO_{2}`-Aufnahmepotenzial, weshalb sie als sinnvolle Ergänzung für europäische Wälder diskutiert werden. Die Funktion :math:`h` mit dem Term :math:`h(t)=\dfrac{108}{2+51\cdot e^{-0.065\cdot t}}` mit :math:`t\in[0;100]` beschreibt näherungsweise die Höhe eines Mammutbaumes in Metern. Dabei gibt :math:`t` die Zeit in Jahren an, die seit der Pflanzung eines Jungbaumes durch die Forstwirtschaft verstrichen ist. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen. Aufgabe (a) ::::::::::: Aktuelle Forschungsarbeiten liefern folgende Daten zum Höhenwachstum von Mammutbäumen in Europa: .. list-table:: :widths: 20 15 15 15 15 :header-rows: 0 * - :math:`\small t` in Jahren - :math:`0` - :math:`20` - :math:`50` - :math:`100` * - Baumhöhe in Metern - :math:`\small 2` bis :math:`\small 3` - :math:`\small 5` bis :math:`\small 10` - :math:`\small 25` bis :math:`\small 30` - :math:`\small 50` bis :math:`\small 54` Überprüfen Sie, ob die gegebenen wissenschaftlichen Daten zum Höhenwachstum mit den entsprechenden Baumhöhen, welche sich aus der Modellfunktion :math:`h` ergeben, im Einklang stehen. [4] Aufgabe (b) ::::::::::: Ermitteln Sie alle Zeitpunkte :math:`t\in[0;100]` , an denen laut Modell die momentane Wachstumsrate dieses Mammutbaumes :math:`0.78` Meter pro Jahr beträgt. [7] [zur Kontrolle: :math:`\dot{h}(t)=\dfrac{358.02\cdot e^{-0.065\cdot t}}{(2+51\cdot e^{-0.065\cdot t})^{2}}`] Aufgabe (c) ::::::::::: Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion :math:`h` im Bereich :math:`0\leq t\leq100` in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem. [4] Aufgabe (d) ::::::::::: Bestimmen Sie rechnerisch die durchschnittliche Wachstumsrate, mit der die Höhe eines Mammutbaumes dem Modell zufolge im Zeitraum :math:`[20;60]` pro Jahr zunimmt. Bestätigen Sie Ihr Ergebnis graphisch, indem Sie in der Zeichnung aus der vorherigen Aufgabe eine entsprechende Gerade und das zur Rechnung passende Steigungsdreieck einzeichnen. Geben Sie dabei auch die zum Steigungsdreieck gehörigen Werte :math:`\Delta t` und :math:`\Delta h` an. [3] Aufgabe (e) ::::::::::: Zeigen Sie, dass :math:`h(t)` zum Term :math:`\dfrac{108\cdot e^{0.065\cdot t}}{2\cdot e^{0.065\cdot t}+51}` äquivalent ist und ermitteln Sie eine Stammfunktion H der Funktion h . [5] Analysis, Teil 2.2 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Gegeben ist die Funktion :math:`p` mit dem Term :math:`p(x)=\dfrac{2x^{2}-36x+178}{x^{2}-16x+73}` mit ihrer Definitionsmenge :math:`D_{p}=\mathbb{R}` . Der zugehörige Graph wird mit :math:`G_{p}` bezeichnet. Aufgabe (a) ::::::::::: Untersuchen Sie die Funktion :math:`p` auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte von :math:`p` bei Annäherung an die Ränder von :math:`D_{p}` . Geben Sie auch die Art und die Gleichung der Asymptote von :math:`G_{p}` an. [5] Aufgabe (b) ........... Bestimmen Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte von :math:`G_{p}` . Begründen Sie, dass die relativen Extrempunkte auch absolute Extrempunkte von :math:`G_{p}` sind. [8] [zur Kontrolle: :math:`p^{\prime}(x)=\dfrac{4(x^{2}-16x+55)}{(x^{2}-16x+73)^{2}}`] Aufgabe (c) ::::::::::: Zeichnen Sie den Graphen :math:`G_{p}` und seine Asymptote im Bereich :math:`0\leq x\leq16` unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer Funktionswerte in ein geeignetes Koordinatensystem. [5] Aufgabe (d) ::::::::::: Ein kleiner Fluss ist in der Vergangenheit bei Starkregen schon öfter über die Ufer getreten. Der Pegelstand dieses Flusses ist als Flussufer des Wasserstandes direkt an der Pegellatte mit festgelegtem Pegelnullpunkt zu verstehen. Zur Vermeidung von weiteren Überschwemmungen wurden Flutpolder erbaut, die die Wassermassen teilweise aufnehmen können. Bei Starkregenereignissen wird der Verlauf des Pegelstandes des Flusses beobachtet. Gegebenenfalls werden die Schleusen der Polder geöffnet. Die Messdaten aus einem der letzten Starkregenereignisse lassen erkennen, dass der Pegelstand ab Einsetzen des Starkregens kontinuierlich angestiegen ist, bis die Polderschleusen geöffnet wurden. Nach dem Öffnen der Schleusen ist der Pegelstand gesunken. Die Funktion :math:`p` beschreibt für :math:`0\leq x\leq16` modellhaft den zeitlichen Verlauf des Pegelstandes des Flusses, wobei :math:`x` die verstrichene Zeit in Stunden ab dem Einsetzen des Starkregens (:math:`x=0`) und :math:`p(x)` den Pegelstand in Metern angibt. Geben Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben an, nach wie vielen Stunden ab Einsetzen des Regens die Polderschleusen geöffnet wurden. Geben Sie auch an, in welchem Bereich die im Zeitraum :math:`0\leq x\leq16` beobachteten Pegelstände liegen. [3] .. figure:: images/13_nt_2026_03.png :align: center :width: 75% Aufgabe (e) ::::::::::: Bereits ab einem Pegelstand von :math:`2.5` Metern wird eine Hochwasserwarnung herausgegeben. Berechnen Sie, nach welcher Zeit ab dem Einsetzen des Regens erstmalig eine Hochwasserwarnung herausgegeben wurde. [4] Aufgabe (f) ::::::::::: Der Verlauf des Pegelstands in den ersten :math:`5` Stunden kann gut durch eine Gerade :math:`g` , die durch die Punkte :math:`A(0;p(0))` und :math:`B(5;p(5))` verläuft, angenähert werden. Zeichnen Sie die Gerade :math:`g` für :math:`0\leq x\leq16` in das obige Koordinatensystem ein und ermitteln Sie eine Gleichung von :math:`g` . Bei anhaltendem Starkregen und ohne Schleusenöffnung lässt sich der zeitliche Verlauf des Pegelstands auch über die ersten :math:`5` Stunden hinaus in guter Näherung durch die Gerade :math:`g` beschreiben. Erreicht der Pegelstand die :math:`3`-Metermarke, kommt es zu Überschwemmungen. Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt ohne Schleusenöffnung mit einer Überschwemmung zu rechnen gewesen wäre. [5] Aufgabe 2 ......... Gegeben ist die Funktion :math:`f` mit dem Term :math:`f(x)=\dfrac{1}{x\cdot\ln(x)}` mit ihrer maximalen Definitionsmenge :math:`D_{f}=]0;1[\cup]1;+\infty[` . Ihr Graph wird mit :math:`G_{f}` bezeichnet. Aufgabe (a) ::::::::::: Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von :math:`f` für :math:`x\rightarrow0^{+}` und :math:`x\rightarrow+\infty` . Von diesen beiden Grenzwerten lässt sich auf zwei Asymptoten von :math:`G_{f}` schließen. Geben Sie für diese beiden Asymptoten jeweils Art und Gleichung an. [5] Aufgabe (b) ::::::::::: In der unteren Abbildung ist ein Teil des Graphen :math:`G_{f}` und eine seiner senkrechten Asymptoten mit der Gleichung :math:`x=1` dargestellt. Der Hochpunkt :math:`H(\frac{1}{e};f(\frac{1}{e}))` ist der einzige relative Extrempunkt von :math:`G_{f}` (Nachweis nicht erforderlich). Zeichnen Sie den Graphen :math:`G_{f}` anhand aller bekannter Eigenschaften und weiterer geeigneter Funktionswerte auch für den Bereich :math:`0] (-0.7,0) -- (12.7,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-6.7) -- (0,7.7) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.9,-0.15) node {\scriptsize $0.25$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,color=teal] (4,-6.4) node[right]{v} -- (4,7.4); \draw[line width=0.5mm,domain=4.55:12,color=blue,samples=100] plot(\x,{4/(\x*ln(\x/4))}) node[right]{$G_{f}$}; Aufgabe (c) ::::::::::: Der Graph :math:`G_{f}` begrenzt im IV. Quadranten des Koordinatensystems mit der :math:`x`-Achse und den beiden Geraden mit den Gleichungen :math:`x=0.25` und :math:`x=0.75` ein endliches Flächenstück. Markieren Sie dieses Flächenstück in der entsprechenden Zeichnung und ermitteln Sie die Maßzahl dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet. Verwenden Sie ohne Nachweis, dass die Funktion :math:`F` mit dem Term :math:`F(x)=\ln\left|\ln(x)\right|` mit der Definitionsmenge :math:`D_{F}=D_{f}` eine Stammfunktion von :math:`f` ist. [4] Geometrie, Teil 2.1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ In einem Theater wird auf der Bühne eine Holzplatte aufgehängt und von einer punktförmigen Lichtquelle angestrahlt. Die Situation wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des :math:`\mathbb{R}^{3}` betrachtet. Die dreieckige Holzplatte hat die Eckpunkte :math:`A(2;-3;5)` , :math:`B(0;3;6)` und :math:`C(-4;-1;5)` . Die punktförmige Lichtquelle :math:`S(1;-4;10)` projiziert auf den Boden der Theaterbühne eine Schattenfläche mit den Eckpunkten :math:`D(3;-2;0)` , :math:`E(-1.5;13.5;0)` und :math:`F(-9;2;0)` . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter. .. figure:: images/13_nt_2026_04.png :align: center :width: 90% Aufgabe 1 ......... Die Holzplatte :math:`ABC` soll entlang der Kanten mit einem fluoreszierenden Band beklebt werden. Ermitteln Sie die hierzu notwendige Länge des Bandes. [3] Aufgabe 2 ......... Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene :math:`H` , in der die Holzplatte :math:`ABC` liegt, in Koordinatenform. [4] [ Mögliches Ergebnis: :math:`H:x_{1}+3x_{2}-16x_{3}+87=0` ] Aufgabe 3 ......... Aufgrund von Brandschutzbestimmungen muss die Ebene :math:`H` einen Mindestabstand von drei Metern zur punktförmigen Lichtquelle :math:`S` haben. Überprüfen Sie rechnerisch, ob diese Vorgabe erfüllt ist. [5] Aufgabe 4 ......... Im Schwerpunkt :math:`G` der Holzplatte :math:`ABC` soll ein Mikrofon befestigt werden. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes :math:`G` . [2] Aufgabe 5 ......... Die punktförmige Lichtquelle wird ausgeschaltet und eine andere punktförmige Lichtquelle, die sich im Punkt :math:`S^{*}(0;0;9)` befindet, kurz angeschaltet. Es entsteht eine neue dreieckige Schattenfläche mit den Eckpunkten :math:`A^{*}(4.5;-6.75;0)` , :math:`B^{*}(0;9;0)` und :math:`C^{*}` , die in der :math:`x_{1}x_{2}`-Koordinatenebene liegen. Aufgabe (a) ::::::::::: Die Punkte :math:`S^{*}` , :math:`C` und :math:`C^{*}` liegen auf einer Geraden. Berechnen Sie die Koordinaten von :math:`C^{*}` . [3] [ Ergebnis: :math:`C^{*}(-9;-2.25;0)` ] Aufgabe (b) ::::::::::: Zeichnen Sie die Schattenfläche :math:`A^{*}B^{*}C^{*}` in ein geeignetes zweidimensionales Koordinatensystem ein und entscheiden Sie mithilfe der Zeichnung, ob eine Schauspielerin, die im Punkt :math:`P(6;4;0)` steht, sich innerhalb oder außerhalb der Schattenfläche :math:`A^{*}B^{*}C^{*}` befindet. [2] Aufgabe (6) ........... Die Holzplatte :math:`ABC` besitzt eine konstante Dicke von :math:`5` Zentimeter. Ermitteln Sie die Masse :math:`m` der Holzplatte gerundet auf ganze Kilogramm. Die Dichte des verwendeten Holzes ist :math:`\rho=0.48` Kilogramm pro Kubikdezimeter. Hinweis: :math:`\rho=\dfrac{m}{V}` und :math:`V` ist das Volumen der Holzplatte. Geometrie, Teil 2.2 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Eine Schule veranstaltet einen Workshop zum Bogenschießen. Die untere Abbildung zeigt eine rechteckige Zielscheibe (graue Fläche), deren Diagonalen sich im Punkt :math:`Z` schneiden, sowie deren Halterung. In einem kartesischen Koordinatensystem des :math:`\mathbb{R}^{3}` sind die Koordinaten folgender Punkte bekannt: :math:`B(-5093;150;0)` , :math:`H(-5005;200;180)` , :math:`G(-5005;150;180)` und :math:`Z(-5000;150;130)` . Die Koordinaten dieser Punkte sind in der Einheit Zentimeter. Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf eine Nachkommastelle. .. figure:: images/13_nt_2026_05.png :align: center :width: 30% Aufgabe 1 ......... Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene :math:`E` , in der die Zielscheibe liegt, in Koordinatenform und nennen Sie die besondere Lage von :math:`E` im Koordinatensystem. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes :math:`K` und geben Sie die :math:`x_{2}`-Koordinate von :math:`L(-4995;x_{2};80)` an. [8] [Zur Kontrolle: :math:`E:10x_{1}+x_{3}+49870=0` ] Aufgabe 2 ......... Der Punkt :math:`S` liegt auf der Geraden :math:`ZG` und zusätzlich gilt: :math:`\left|\overline{GZ}\right|=\left|\overline{GS}\right|` . Bestimmen Sie die Koordinaten von :math:`S` und die Länge der hinteren Strebe :math:`\overline{SB}` . [4] Aufgabe 3 ......... Ein Schütze schießt einen Pfeil in Richtung der Zielscheibe. Nach einem einfachen Modell wird die Flugbahn der Pfeilspitze durch die Gerade :math:`p:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 180 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-10004\\ 340\\ -60 \end{pmatrix}` mit :math:`t\in\mathbb{R}` beschrieben. Der Startpunkt der Flugbahn ist :math:`A(0;0;180)` . Durch vier auf der Zielscheibe abgedruckte Kreise mit Mittelpunkt :math:`Z` ergeben sich Trefferzonen (siehe untere Abbildung). Landet die Pfeilspitze in einer dieser Zonen, erhält der Schütze die dargestellte Punktzahl. Die in der unteren Abbildung angegebenen Kreisdurchmesser sind in der Einheit Zentimeter. .. figure:: images/13_nt_2026_06.png :align: center :width: 60% Aufgabe (a) ::::::::::: Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes :math:`T` , an dem die Pfeilspitze in die Zielscheibe eindringt. Ermitteln Sie auch, welche Punktzahl für diesen Schuss notiert wird. [6] [zur Kontrolle: :math:`T(-5002;170;150)` ] Aufgabe (b) ::::::::::: Die Gerade :math:`h` verläuft durch die Punkte :math:`A` und :math:`Z` . Die Geraden :math:`h` und :math:`p` legen die Ebene :math:`F` fest. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene :math:`F` in Parameterform und berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels :math:`\alpha` der Geraden :math:`h` und :math:`p` . Interpretieren Sie die Bedeutung dieses Winkels im Sachzusammenhang. [5]