Prüfung 2026 ------------ .. _klasse_12_jahr_2026: .. |br| raw:: html
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Analysis, Teil 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Die Funktion :math:`f` ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit der Definitionsmenge :math:`D_{f}=\mathbb{R}` . Ihr Graph wird mit :math:`G_{f}` bezeichnet. Die zweite Ableitungsfunktion von :math:`f` besitzt die Funktionsgleichung :math:`f^{\prime\prime}(x)=-0.5(x+4)(x-1)` . Aufgabe (a) ::::::::::: Skizzieren Sie einen Ausschnitt des Graphen der Funktion :math:`f^{\prime\prime}` , anhand dessen die größtmöglichen Krümmungsintervalle des Graphen :math:`G_{f}` abgelesen werden können. Geben Sie diese Intervalle an. [3] Aufgabe (b) ::::::::::: Die Funktion :math:`f^{\prime}` ist die erste Ableitungsfunktion der Funktion :math:`f` . Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von :math:`f^{\prime}` für :math:`x\rightarrow\pm\infty` sowie jeweils die Art und Lage aller relativen Extremstellen von :math:`f^{\prime}` an. [3] Aufgabe 2 ......... Gegeben ist die quadratische Funktion :math:`q` mit dem Term :math:`q(x)=\frac{1}{4}x^{2}-2x+k` und :math:`x,k\in\mathbb{R}` . Berechnen Sie den Wert des Parameters :math:`k` so, dass der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel auf der :math:`x`-Achse liegt. [3] Aufgabe 3 ......... Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen :math:`G_{h}` einer auf ganz :math:`\mathbb{R}` definierten ganzrationalen Funktion :math:`h` vierten Grades. Die Funktion :math:`H` bezeichne eine Stammfunktion von :math:`h` . .. tikz:: :align: left :xscale: 60 \draw[very thin,color=gray] (-1.4,-1.4) grid (3.9,3.9); \draw[->] (-1.7,0) -- (4.2,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-1.7) -- (0,4.2) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-1:3.3,color=olive,samples=100] plot(\x,{42/43*(0.25*(\x)^4-4/3*(\x)^3+2*(\x)^2)-0.5}) node[right]{$G_{h}$}; Setzen Sie jeweils eines der drei mathematischen Symbole :math:`<` , :math:`>` oder :math:`=` für das Fragezeichen ein, sodass eine wahre Aussage entsteht. [3] - :math:`h^{\prime}(x)\ldots?\ldots0` für :math:`x<0` - :math:`h^{\prime\prime}(2)\ldots?\ldots0` - :math:`\int\limits_{0}^{2}h(x)dx\ldots?\ldots0` - :math:`H^{\prime}(2)\ldots?\ldots0` Aufgabe 4 ......... Gegeben ist die Funktion :math:`g` mit dem Term :math:`g(x)=-0.5\cdot e^{-x}+2` und der Definitionsmenge :math:`D_{g}=\mathbb{R}` . Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des zugehörigen Graphen :math:`G_{g}` sowie den Graphen :math:`G_{w}` der konstanten Funktion mit dem Term :math:`w(x)=-0.5\cdot e+2` und :math:`x\in\mathbb{R}` . .. tikz:: :align: left :xscale: 60 \draw[very thin,color=gray] (-2.4,-2.4) grid (3.9,2.9); \draw[->] (-2.7,0) -- (4.2,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-2.7) -- (0,3.2) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-2:3.5,color=blue,samples=100] plot(\x,{-0.5*e^(-\x)+2}) node[right]{$G_{g}$}; \draw[line width=0.5mm,color=orange] (-2.2,0.64) -- (3.5,0.64) node[right]{$G_{w}$}; Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden :math:`G_{t}` , die Tangente an den Graphen der Funktion :math:`g` an der Stelle :math:`x=0` ist. [3] Aufgabe (b) ::::::::::: Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes :math:`P` der beiden Graphen der Funktionen :math:`g` und :math:`w` . [3] Aufgabe (c) ::::::::::: Bestimmen Sie den Funktionsterm :math:`G(x)` der Stammfunktion von :math:`g` , deren Graph die :math:`y`-Achse bei :math:`2` schneidet. [3] Stochastik, Teil 1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... An einer Beruflichen Oberschule fand eine "Grüne Woche" statt, bei welcher die Schülerinnen und Schüler zu ihrer Anreise zur Schule befragt wurden. Die Befragung einer zufällig ausgewählten Person wird als Zufallsexperiment aufgefasst. Mit den beiden Ereignissen :math:`F:` "Die befragte Person kommt mit dem Fahrrad zur Schule." :math:`W:` "Die befragte Person ist weiblich." erhält man die abgebildete unvollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Die Wahl des Verkehrsmittels ist unabhängig vom Geschlecht der Person. .. list-table:: :widths: 15 20 20 15 :header-rows: 0 * - - :math:`\small W` - :math:`\small \overline{W}` - * - :math:`\small F` - - - * - :math:`\small \overline{F}` - - - :math:`\small \frac{3}{5}` * - - :math:`\small \frac{1}{4}` - - Aufgabe (a) ::::::::::: Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person weiblich ist und mit dem Fahrrad zur Schule kommt, :math:`10~\%` beträgt. [2] Aufgabe (b) ::::::::::: Formulieren Sie das Ereignis :math:`E=\overline{F\cup\overline{W}}` möglichst einfach im Sachzusammenhang. [2] Aufgabe (c) ::::::::::: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person nicht mit dem Fahrrad zur Schule kommt oder nicht weiblich ist. [2] Aufgabe (d) ::::::::::: An einem Morgen in der "Grünen Woche" kommen Anton, Max, Tobias, Eva, Sara und Lisa mit dem Fahrrad an der Schule an. Geben Sie jeweils einen Term an, mit dem die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten der sechs Fahrräder berechnet werden kann, wenn diese unterschieden und - nebeneinander abgestellt werden. - nebeneinander abgestellt werden, aber nie die Fahrräder von zwei Mädchen oder von zwei Jungen nebeneinander stehen sollen. [3] Aufgabe 2 ......... Eine binomialverteilte Zufallsgröße :math:`X` besitzt den Erwartungswert :math:`\mu=20` und die Standardabweichung :math:`\sigma=4` . Berechnen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit :math:`p` . [3] Analysis, Teil 2.1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Der Graph :math:`G_{f}` der Funktion :math:`f` mit :math:`x\in\mathbb{R}` besitzt im Ursprung einen Terrassenpunkt und den absoluten Tiefpunkt bei :math:`x=3` . Sonst existieren keine weiteren Punkte mit waagrechter Tangente. Außerdem ist bekannt, dass die Funktionsgleichung die Form :math:`f(x)=\frac{1}{4}x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d` mit :math:`a,b,c,d\in\mathbb{R}` hat. Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie die Werte der Parameter :math:`a` , :math:`b` , :math:`c` und :math:`d` und damit den Funktionsterm :math:`f(x)` . [6] [Mögliches Ergebnis: :math:`f(x)=\frac{1}{4}(x^{4}-4x^{3})` ] Aufgabe (b) ::::::::::: Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion :math:`f` sowie die Koordinaten der Punkte, in denen :math:`G_{f}` eine waagrechte Tangente besitzt. [3] Aufgabe (c) ::::::::::: Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen :math:`G_{f}` für :math:`-1\leq x\leq4` in ein kartesisches Koordinatensystem. [4] Aufgabe (d) ::::::::::: Berechnen Sie :math:`\int\limits_{-1}^{4}f(x)dx` . Erklären Sie, welche geometrische Bedeutung das Ergebnis bezüglich :math:`G_{f}` hat. Veranschaulichen Sie Ihre Erklärung in der vorher angefertigten Zeichnung. [4] Aufgabe (e) ::::::::::: Betrachtet wird nun die auf ganz :math:`\mathbb{R}` definierte Funktion :math:`g` mit der Funktionsgleichung :math:`g(x)=f(x)+7=\frac{1}{4}(x^{4}-4x^{3})+7` . Begründen Sie ohne Rechnung, weshalb der Graph der Funktion :math:`g` keine Nullstelle besitzt. Ermitteln Sie auch :math:`\int\limits_{1}^{3}(g(x)-f(x))dx` . [4] Aufgabe 2 ......... Die Wertentwicklungen zweier Anlagen :math:`A` und :math:`B` werden für :math:`t\in\mathbb{R}^{+}` durch die Funktionen mit folgenden Termen beschrieben: :math:`K_{A}(t)=20000\cdot1.02^{t}` und :math:`K_{B}(t)=30000\cdot0.98^{t}` . Dabei steht die Variable :math:`t` für die Zeit in Jahren ab dem Zeitpunkt :math:`t=0` . Die Funktionswerte von :math:`K_{A}` bzw. :math:`K_{B}` geben jeweils den Anlagewert in Euro zum Zeitpunkt :math:`t` an. Berechnen Sie auf eine Nachkommastelle gerundet, nach wie vielen Jahren die beiden Anlagen den gleichen Wert haben. [4] Aufgabe 3 ......... In den vergangenen Jahren hatte der Befall von Bäumen durch den Eichenprozessionsspinner in Deutschland zunehmend auch gesundheitliche Auswirkungen auf die Bevölkerung. Aus diesem Grund wird in einem stark betroffenen Gebiet regelmäßig die momentane Anzahl der Patienten, deren Erkrankungen im Zusammenhang mit dem Eichenprozessionsspinner stehen, erfasst. Anhand dieser Fallzahlen wird die momentane Anzahl der Patienten in einem Jahr mit starkem Befall durch den Eichenprozessionsspinner zwischen Anfang Mai und Ende Juli vereinfacht durch die reelle Funktion :math:`P` mit dem Term :math:`P(t)=200\cdot t\cdot e^{-0.25\cdot t+0.75}` mit :math:`t\in[0;12]` modelliert. Dabei steht die Variable :math:`t` für die vergangene Zeit in Wochen ab dem 1. Mai (:math:`t=0`) des betrachteten Jahres. Der Funktionswert von :math:`P` gibt die momentane Anzahl der Patienten an. Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll. Aufgabe (a) ::::::::::: Berechnen Sie die nach dem Modell momentane Anzahl der Patienten nach elf Wochen (zum Zeitpunkt :math:`t=11`). [2] Aufgabe (b) ::::::::::: Den erhobenen Fallzahlen ist zu entnehmen, dass im betrachteten Zeitraum die momentane Anzahl der Patienten nach vier Wochen mit etwa :math:`620` ihr absolutes Maximum erreicht hat. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob das verwendete Modell diese Daten annähernd widerspiegelt. [8] [Zur Kontrolle: :math:`\dot{P}(t)=200\cdot e^{-0.25\cdot t+0.75}(1-0.25t)` ] Aufgabe (c) ::::::::::: Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion :math:`P` im Bereich :math:`0\leq t\leq12` in ein Koordinatensystem. Bestimmen Sie anschließend mithilfe des Graphen nachvollziehbar den Monat, in dem die momentane Anzahl der Patienten nach Erreichen des Maximalwertes erstmals wieder auf :math:`500` gesunken ist. Wählen Sie für die Zeichnung für beide Achsen einen geeigneten Maßstab. [5] Aufgabe (d) ::::::::::: An der Stelle :math:`t_{W}=8` ändert der Graph der Funktion :math:`P` sein Krümmungsverhalten von einer Rechts- in eine Linkskrümmung. Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Stelle im Sachzusammenhang. Konkretisieren Sie Ihre Beschreibung mithilfe des Wertes :math:`\dot{P}(8)` . [3] Analysis, Teil 2.2 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen :math:`G_{f}` einer ganzrationalen Funktion :math:`f` dritten Grades mit der Definitionsmenge :math:`D_{f}=\mathbb{R}` . Die ganzzahligen Nullstellen können der Abbildung entnommen werden. .. tikz:: :align: left :xscale: 70 \draw[very thin,color=gray] (-0.4,-6.9) grid (8.4,1.4); \draw[->] (-0.7,0) -- (8.7,0) node[below] {\scriptsize $x$}; \draw[->] (0,-7.2) -- (0,1.7) node[left] {\scriptsize $y$}; \draw (0.85,-0.15) node {\scriptsize $1$}; \draw (-0.15,0.85) node {\scriptsize $1$}; \draw[line width=0.5mm,domain=-0.2:8,color=magenta,samples=100] plot(\x,{-0.2*(\x)^3+2.4*(\x)^2-7.2*\x}) node[below]{$G_{f}$}; \fill[color=magenta] (1,-5) circle (0.1) node [right]{$P(1;-5)$}; Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie den Term der Funktion :math:`f` in vollständig faktorisierter Form und zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Funktionsgleichung von :math:`f` auch in folgender Form darstellen lässt: :math:`f(x)=-0.2x^{3}+2.4x^{2}-7.2x` . [4] Aufgabe (b) ::::::::::: Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem :math:`G_{f}` die maximale positive Steigung besitzt. Begründen Sie, weshalb es keine Stelle gibt, für die :math:`f^{\prime}` ein absolutes Minimum annimmt. [6] Aufgabe (c) ::::::::::: Der Graph der Funktion :math:`f` und die :math:`x`-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. [3] Aufgabe 2 ......... In einem Labor wurde das Wachstum von Pflanzen aus neu gezüchtetem Saatgut unter Wassermangel untersucht. Die Höhe einer bestimmten Pflanze (in Zentimeter über der Pflanzerde) wird durch die Funktion :math:`H` mit dem Term :math:`H(t)=(5t^{2}-2)e^{-kt}` mit :math:`t\in[0;14]` und :math:`k\in\mathbb{R}^{+}` modellhaft beschrieben. Dabei steht die Variable :math:`t` für die Zeit in Tagen ab dem Pflanzen des Samens (:math:`t=0`). Negative Funktionswerte von :math:`H` bedeuten in diesem Modell, dass sich die Pflanze noch in der Pflanzenerde befindet. Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle. Aufgabe (a) ::::::::::: Berechnen Sie, in welcher Tiefe der Samen in die Pflanzenerde eingesetzt wurde. [2] Aufgabe (b) ::::::::::: Drei Tage nach der Aussaat beträgt die Höhe der Pflanze :math:`9.6` Zentimeter über der Pflanzenerde. Bestimmen Sie den Wert des Parameters :math:`k` so, dass die Modellfunktion diesen Sachverhalt beschreibt. [3] Aufgabe (c) ::::::::::: Im Folgenden gilt: :math:`H(t)=(5t^{2}-2)e^{-0.5t}` . Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Pflanze ihre maximale Höhe erreicht, sowie die maximale Höhe über der Pflanzerde. [7] [Zur Kontrolle: :math:`\dot{H}(t)=2.5e^{-0.5t}\cdot(-t^{2}+4t+0.4)` ] Aufgabe (d) ::::::::::: Bestimmen Sie die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze in den ersten drei Tagen nach dem Pflanzen des Samens. [2] Aufgabe (e) ::::::::::: Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion :math:`H` im Bereich :math:`0\leq t\leq14` in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie für beide Achsen einen geeigneten Maßstab. [4] Aufgabe (f) ::::::::::: Ermitteln Sie mithilfe der vorherigen Zeichnung nachvollziehbar den Zeitraum, in welchem die Höhe der Pflanze über der Pflanzerde mindestens :math:`75~\%` der maximalen Höhe beträgt. [3] Aufgabe 3 ......... Um das Kulturangebot im Ort zu verbessern, plant eine Stadt den Bau einer großen, rechteckigen Seebühne im nördlichen Bereich des Stadtsees. Zur Modellierung der Situation wurde ein Koordinatensystem gewählt, dessen :math:`x`-Achse entlang der südlichen Begrenzungslinie der Seebühne verläuft. Diese liegt :math:`100` Meter vom nördlichsten Punkt des Sees entfernt. Die :math:`y`-Achse verläuft von Süden nach Norden mittig durch die geplante Seebühne. Die Längeneinheit auf beiden Achsen ist Meter. Im beschriebenen Koordinatensystem lässt sich die nördliche Begrenzungslinie des Sees näherungsweise durch den Graphen der Funktion :math:`u` mit dem Term :math:`u(x)=-0.01x^{2}+100` und der Definitionsmenge :math:`D_{u}=[-100;100]` beschreiben. Damit ein direkter Zugang vom Ufer zur Bühne möglich ist, sollen die beiden nördlichen Eckpunkte :math:`P` und :math:`Q` der Seebühne direkt am Ufer liegen. Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. .. figure:: images/12_nt_2026_01.png :align: center :width: 60% Aufgabe (a) ::::::::::: Stellen Sie einen Funktionsterm :math:`A(x)` für die Funktion :math:`A` auf, deren Funktionswerte die Maßzahl des Flächeninhalts der Seebühne in Abhängigkeit von der halben Bühnenbreite x beschreiben. [2] [Zur Kontrolle: :math:`A(x)=-0,02\cdot(x^{3}-10000x)` ] Aufgabe (b) ::::::::::: Aufgrund der Anforderungen der Bühnenaufbauten gilt :math:`x\in[10;80]` . Bestimmen Sie den Wert für :math:`x` , für den der Flächeninhalt der Bühne den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall die Abmessungen der Seebühne jeweils auf ganze Meter gerundet. [7] Stochastik, Teil 2.1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Ein Fahrrad-Club führt eine Umfrage zum Kaufverhalten seiner Mitglieder beim Neukauf eines Fahrrads durch. Betrachtet werden nur Mitglieder - im Folgenden auch Käufer genannt - die genau ein Fahrrad kaufen. Die Umfrage ergab, dass sich :math:`25~\%` der befragten Mitglieder für ein Fahrrad mit elektrischer Unterstützung (:math:`E`) entscheiden. Bei :math:`7~\%` dieser Räder handelt es sich um ein Lastenrad (:math:`L`). Unter allen befragten Mitgliedern kaufen :math:`5~\%` ein Mountainbike (:math:`M`) mit elektrischer Unterstützung. Die restlichen Käufer von Fahrrädern mit elektrischer Unterstützung entscheiden sich für ein City-Rad (:math:`C`). :math:`63~\%` der Käufer von konventionellen Rädern (:math:`E`), also von Rädern ohne elektrische Unterstützung, wählen ein City-Rad (:math:`C`). Zudem entscheiden sich :math:`28~\%` der Käufer konventioneller Räder für ein Mountainbike. Alle übrigen Käufer konventioneller Räder wählen ein Rennrad (:math:`R`). Unabhängig davon, ob das Rad über elektrische Unterstützung verfügt oder nicht, sind :math:`40~\%` der gekauften City-Räder tourentauglich (:math:`T`) ausgestattet. Die Befragung eines zufällig ausgewählten Mitgliedes wird als Zufallsexperiment aufgefasst. Aufgabe (a) ::::::::::: Betimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments. [5] [ Zur Kontrolle: :math:`P_{E}(C)=0.73` ] Aufgabe (b) ::::::::::: Gegeben sind folgende Ereignisse: - :math:`E_{1}:` "Ein zufällig ausgewähltes Mitglied entscheidet sich für ein City-Rad." - :math:`E_{2}=\{EM;ECT;\overline{E}M;\overline{E}CT\}` - :math:`E_{3}=\overline{E_{1}\cup E_{2}}` Geben Sie :math:`E_{1}` in aufzählender Mengenschreibweise an. Berechnen Sie :math:`P(E_{3})` und formulieren Sie :math:`E_{3}` möglichst einfach im Sachzusammenhang. [4] Aufgabe 2 .......... Der Fahrrad-Club möchte in der nächsten Ausgabe der Mitgliederzeitschrift unter anderem einen Artikel zu den Verletzungsrisiken für Radfahrer herausbringen. Die Auswertungen einer Unfallversicherung ergaben, dass im Durchschnitt :math:`35~\%` aller Radler ohne Helm (:math:`\overline{H}`) unterwegs sind. Ein Rad mit elektrischer Unterstützung (:math:`E`) verwenden :math:`25~\%` aller Fahrer. :math:`60~\%` der Nutzer von Rädern ohne elektrische Unterstützung tragen einen Helm. Erstellen Sie zum vorliegenden Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Berechnen Sie :math:`P_{E}(\overline{H})` und :math:`P_{\overline{E}}(\overline{H})` und vergleichen Sie die Ergebnisse im vorliegenden Sachzusammenhang. [6] Aufgabe 3 ......... Die Vorstandschaft des Fahrrad-Clubs vermutet, dass unter den Club-Mitgliedern mehr als die vom Unfallversicherer ermittelten :math:`65~\%` der Fahrer regelmäßig einen Helm tragen (Gegenhypothese). Um ihren Verdacht zu überprüfen, wird ein Hypothesentest auf Basis einer Befragung von 100 Mitgliedern zur Helmnutzung durchgeführt. Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau von :math:`2~\%` . Geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn :math:`73` der befragten Mitglieder regelmäßig einen Helm tragen. [6] Aufgabe 4 ......... Beim diesjährigen Radler-Treff des Fahrrad-Clubs wurden die Räder der Teilnehmer auf ihre Verkehrssicherheit untersucht. Bei :math:`35~\%` der überprüften Räder wurden Mängel festgestellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von :math:`50` zufällig ausgewählten und überprüften Rädern mindestens acht und höchstens :math:`16` der Räder Mängel aufweisen. [2] Stochastik, Teil 2.2 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Aufgabe 1 ......... Eine Seniorenresidenz bietet die Freizeitaktivitäten Gedächtnistraining (:math:`G`) und Seniorensport (:math:`S`) für die Bewohner an. Erfahrungsgemäß melden sich :math:`30~\%` der Bewohner für das Gedächtnistraining an. Von diesen melden sich :math:`60~\%` zusätzlich für den Seniorensport an. Der Anteil aller Bewohner, die auf Gedächtnistraining verzichten, sich aber für Seniorensport anmelden, beträgt :math:`56~\%` . Die Befragung eines zufällig ausgewählten Bewohners hinsichtlich seiner gewählten Aktivitäten wird als Zufallsexperiment betrachtet. Aufgabe (a) ::::::::::: Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller vier Elementarereignisse des Zufallsexperiments. [3] [zur Kontrolle: :math:`P(GS)=0.18` ] Aufgabe (b) ::::::::::: Gegeben sind folgende Ereignisse: - :math:`E_{1}:` “Ein Bewohner nimmt keines der Angebote wahr.” - :math:`E_{2}:` “Ein Bewohner meldet sich für Seniorensport an.” - :math:`E_{3}=\overline{E_{1}\cup E_{2}}` Geben Sie die Ereignisse :math:`E_{1}` , :math:`E_{2}` und :math:`E_{3}` in aufzählender Mengenschreibweise an und bestimmen Sie jeweils ihre Wahrscheinlichkeit. [3] Aufgabe (c) ::::::::::: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich jemand aus der Gruppe der Seniorensportler für das Gedächtnistraining anmeldet. [2] Aufgabe (2) ........... Für einen von der Seniorenresidenz organisierten Tagesausflug mit dem Bus in eine nahegelegene größere Stadt haben sich :math:`25` Bewohner angemeldet. Pro Person betragen die Kosten für den Bus :math:`10` Euro. Zusätzlich konnte jeweils optional ein Thermenbesuch für :math:`15` Euro, ein Restaurantbesuch für :math:`12` Euro sowie der Besuch einer Kunstausstellung für :math:`5` Euro dazugebucht werden. Die folgende Tabelle zeigt die Buchungen der :math:`25` Teilnehmer: .. list-table:: :widths: 20 20 20 20 20 :header-rows: 0 * - nur Bus - Bus, Rest. - Bus, Rest., Kunst - Bus, Rest.,Therme - Bus, Rest.,Kunst, Therme * - :math:`\small 4` - :math:`7` - :math:`5` - :math:`6` - :math:`3` Aufgabe (a) ........... Die Zufallsgröße :math:`X` gibt den Betrag in Euro an, den ein zufällig ausgewählter Ausflugsteilnehmer bezahlt. Erstellen Sie eine vollständige tabellarische Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße :math:`X` und berechnen Sie die durchschnittlichen Kosten für einen Teilnehmenden. [3] Aufgabe (b) ........... Nach der Rückkehr verlassen die :math:`25` Ausflügler nacheinander den Bus in zufälliger Reihenfolge. Von den bisher veranstalteten Tagesfahrten ist bekannt, dass sich :math:`80~\%` der Teilnehmer einer Tagesfahrt auch wieder für die nächste Fahrt anmelden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: - :math:`E_{4}:` “Die erste Person, die aussteigt, war beim Restaurant-Besuch dabei.” - :math:`E_{5}:` “Unter den ersten :math:`10` Personen wollen genau :math:`6` bei der nächsten Fahrt dabei sein.” - :math:`E_{6}:` “Unter den :math:`25` Ausflüglern wollen mindestens :math:`15` , aber höchstens :math:`20` bei der nächsten Fahrt dabei sein.” Aufgabe 3 ......... Die Seniorenresidenz bietet für die Bewohner einen Kleider-Waschservice über einen externen Dienstleister an. Der Leitung der Seniorenresidenz ist bekannt, dass :math:`5~\%` der Kleidungsstücke in der beauftragten Wäscherei verloren gehen. Aktuell besteht aufgrund einer Zunahme der Beschwerden von Bewohnern der Verdacht, dass sich der Anteil noch weiter vergrößert hat (Gegenhypothese). Um diese Annahme mithilfe eines Hypothesentests zu überprüfen, werden bei der nächsten Wäsche-Abholung :math:`50` Wäschestücke markiert und dann deren Vorhandensein bei der Anlieferung nach der Reinigung kontrolliert. Aufgabe (a) ::::::::::: Geben Sie zu diesem Test die Testgröße und die Nullhypothese an und ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem :math:`4~\%`-Niveau. [5] Aufgabe (b) ::::::::::: Tatsächlich hat sich der Anteil der verlorenen Kleidungsstücke auf :math:`10~\%` erhöht. Bestimmen Sie damit für den in der vorherigen Aufgabe konstruierten Test die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. [2]